夯实原理、善于归类、巧用方法——高中数学竞赛中数论问题的解决

浙江省衢州二中高三一班 谢闻哲

初等数论的理论知识在高中数学竞赛题中应用十分广泛，其作为衔接中学数学与高等数学的桥梁，对学生的思维意识培养具有重要作用。在高中数学竞赛中，涉及数论知识的竞赛题都具有很强的综合性，很多时候，只需要通过很小一部分数论知识就可以衍生出无穷的变化。因此，笔者认为，数论问题的解决要从夯实原理，学习理论基础开始，然后在做题的过程中分析每一道题目的解题过程，将题型进行分类总结，最后才能在形式多变的数论题型中巧用解题方法，游刃有余地进行解答。

一、夯实数论原理，奠定基础知识

在做与数论有关的数学竞赛题时，有时我们会发现一些题目表面上看起来非常陌生，让人感到无从下手，这时如果我们能借助原始的定义和概念，对基本性质或者相关定理进行推广和改进，我们就会在不经意间解决看似十分复杂的难题。因此，在平时的学习当中，对数论原理的基本概念和定理的牢固掌握十分必要，只有在具备一定基础知识的基础上，才能够在面对数论题目时，做到以不变应万变。

例如，以下这道竞赛题中，就体现了整除理论中基本性质和定理的应用：（04年捷克）如果（k∈Z)是整数，求k。

本题中所出现的题目形式非常简单整齐，但是我们一时间并不知道采取哪一种方法，故而将题目回归到简单的题型当中去，首先采取试探加估测的办法，证明在取较小的整数值时是成立的，然后再根据题目的特点进行合理的变形，这样我们就由简单的情形求得了一般做法。因此，想要深刻理解数论的基本概念和性质，首先要通过训练一定数量的相关习题，在练习题中发现其性质和概念的巧妙应用，进而一步一步深化知识，假以时日定能显现成效。

二、分析解题过程，进行总结归纳

在学习数论的过程中我发现，尽管一些同学的基础知识已经很牢靠了，但是在做某些题目的时候，还是会在解题过程中有所困顿，感到没有方法可循。因此，笔者结合自身经验来看，我认为掌握了一定的数论基础知识之后，还要在具体的解题过程中认真分析每一道题目的解题方法，并将这些解题方法与其相对应的题目进行归类。只有在总结和归纳中我们才能提升对问题的分析和解决能力，甚至在一定程度上达到举一反三的效果，最终提炼出自己独有的意识成果。

例如，笔者在数论学习的过程中发现数学归纳法在数论中有广泛的应用，比如下面一道例题中，就体现了此方法的应用。

（50届IMO题1）设n是一个正整数，a1，a2，…，ak（k≥2）是集合{1，2，…，n}中互不相同的整数，使得对于i=1，2，…，k-1，都有n|ai（ai+1-1），证明：nak（a1-1）。

在这道题目的解答中，我们可以先证明对于任意整数i（2≤i≤k），都有n|a（1ai-1）成立，然后根据整除的基本性质得出n|a（1ai+1-1），最后根据数学归纳法，推出nak（a1-1）的结论。显然，本题应用了数学归纳法来解决数论问题，此方法的巧妙之处就在于遇到这一类题目时，我们首先就会有一个明确的思路，在这样的思路下，即便是我们不理解问题的本质，也能顺着思路将题目按部就班地做出来。因此，在平时的练习中，我们要多分析题目的类型和与之对应的数学方法，这样在遇到同类问题时，就可以减少我们思维的难度，提升解题的准确率。

三、巧用解题方法，游刃有余解答

正确的解题方法是解决数论问题的关键，因此，在平时的练习过程中，我们要注意观察和分析，培养思维的灵活性和发散性，学会将数论问题中的解题方法恰当巧妙地应用到对应的题型中去，做到对症下药。这样一来，在解答题目时，我们就不会自乱阵脚，反而会感到得心应手，游刃有余。

例如，同余理论和整除理论具有十分紧密地关系，尤其在整除理论的问题中，我们常常会遇见判断数的整除类问题，由于这一类的题目往往具有一定的技巧性，如果我们在学习中注意观察和分析，就会发现，在解这一类问题时，如果能恰当地将同余理论应用其中，就能更加深刻地看到问题的实质，从而降低解题难度。另外，还有一些竞赛题目具有一定的趣味性和灵活性，有的时候像是在玩一个小游戏，有的时候又像是在解决生活中的实际问题，为了解决这类题型，在平时的练习中，我们就要多接触一些构思巧妙、富含创意的数论题型。这样一来，既可以激发我们对数学的热爱，还能够帮助我们开拓视野，养成独到的思维和见解。因此，巧用解题方法，对于我们竞赛能力的提升，具有重要作用，在遇到一些难题怪题时，还会让我们在解答题目时有一种“拨云见日”的感觉。

总之，高中数学知识竞赛中初等数论的题型难度通常较大，这就需要我们能够保持一颗平常心，以自信乐观的态度面对，当然，这必定是一个需要长期不断积累的过程，不能急功近利，不然就会出现事倍功半的现象。因此，为了更好地提升我们的综合能力，我们要在稳固基础知识的前提下，通过有针对性地分析和归纳，巧妙运用最恰当的解题方法，这才是我们学习数论知识的最佳方式。