对《选修4-4》里面一个例题的修改建议*

广东省肇庆市高要区第一中学(526100) 程华生

高二年级下学期要学完《选修4-4》,在学到《椭圆的参数方程》时,这节的一个例题引起了我的注意,该例题在课本第28页的下面:

例1在椭圆上求一点M,使点M到直线x+2y-10=0的距离最小,并求出最小距离.

解因为椭圆的参数方程为为参数),所以可设点M的坐标为(3cosφ,2sinφ),由点到直线的距离公式,得到点M到直线的距离为其中,φ0满足,cosφ0=由三角函数性质知,当φ-φ0=0时,d取最小值此时3cosφ=3cosφ0因此,当点M位于时,点M与直线x+2y-10=0的距离取最小值

在学习《椭圆的参数方程》之前,我提前要求学生预习,预习范围是第27页至第29页,其中重点预习这一节的“例1”.

在正式学习《椭圆的参数方程》时,我发现学生的预习效果不理想,对“例1”的解答过程完全看不懂,不知所云,一头雾水.

当每个学生都看不懂的时候,我想课本上的解答过程就有待修改完善了.

在此,我提出我的修改建议,我给出如下解答过程:

解因为椭圆的参数方程为(φ为参数),所以可设点M的坐标为 (3cosφ,2sinφ),点M(3cosφ,2sinφ) 到直线x+ 2y-10 =0 的距离为d=设A= 4sinφ+3cosφ,则5(sinφcosφ0+cosφsinφ0)=5sin(φ+φ0),明显可见,这里的cos因为-1≤ sin(φ+φ0)≤ 1,所以-5≤A≤5.当A=5时,d有最小值,dmin=此时,sin(φ+φ0)=1,φ+φ0=2kπ(k∈ℤ),φ=-φ0(k∈ℤ),d有最小值时,点M的横坐标3cosφ=3cos3cos=3sinφ0=点M的纵坐标2sinφ=2sin=2sin

当我这样讲解“例1”,学生都说容易懂,都说比课本上的解答好很多,我也很有成就感.

为了学生掌握我介绍的方法,我特意命制了一道练习题,让学生动笔练一练.

练习题

参考答案:

解因为椭圆的参数方程为为参数),所以可设点M的坐标为 (3cosφ,2sinφ),点M(3cosφ,2sinφ) 到直线x+2y-10 =0 的 距 离 为设A= 4sinφ+3cosφ,则A=4sinφ+5(sinφcosφ0+cosφsinφ0)=5sin(φ+φ0),明显可见,这里的cos因为-1≤ sin(φ+φ0)≤ 1,所以-5≤A≤ 5.当A=-5时,d有最大值,此时,sin(φ+φ0)=-1,φ+φ0=2kπ(k∈ℤ),φ=-φ0(k∈ℤ),d有最大值时,点M的横坐标3cosφ=3cos-3×sinφ0=点M的纵坐标