在初中数学教学中渗透宏观型数学思想方法的探究

甘肃省陇南市武都区外纳初级中学(746042) 张红永

教学最本质的东西就是传授知识,提高素质,培养能力.那么,数学教学的本质又是什么呢?学界一致认为是数学思想方法的渗透.而数学思想方法又是什么呢?其实它包括两个方面,即思想和方法.所谓数学思想,是指人们对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中归纳、概括并上升到理论高度的数学观点,它在认知活动中被反复应用,带有普遍的指导意义,是用数学方法解决实际问题的理论依据,它直接支配着数学的实践活动.所谓数学方法,则是在数学提出问题、解决问题过程中,所采用的各种手段、方式、途径等.它具有层次性、过程性和可操作性等特点.数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,而宏观型数学思想是其核心、精髓,人们把它们合称为数学思想方法.因此,在数学教学中,教师除了实现知识与技能目标外,还要重视过程与方法的渗透,注重对学生情感与价值目标的培养,从而实现教学的三维一体目标;这对学生以后的学业发展和数学知识的应用将产生巨大的影响,使学生受益一生.

一、数学思想方法的重要性

数学思想方法是数学最本质、最具价值的内容,因为它是现实世界的数量关系和空间形式反映到人脑中,经过思维活动而产生的对数学事实与数学理论的本质的认识.如:代数思想、化归与转化思想、数形结合思想、方程与函数思想、分类思想、集合思想、整体思想、和极限思想等.在数学教学活动中,老师应刻意挖掘和提炼知识的发生、发展和应用过程中所蕴涵的思想方法[1].九年义务教育新人教版(部编)数学教材将数学知识分学段、分层次编排,从而实现数学知识的阶段性螺旋认知,教材中处处彰显知识和思维的有机结合.由于学生认知能力及思维发展的局限,教师往往在教学中只注重数学知识的传授,而忽略了支撑这些知识的观点和思想方法,故而在教学中不能追溯数学概念、定理中所蕴含的数学思想;然而在数学推理与问题解决中有意识地培养学生的数学思想方法,不但可以开启解题思路、提升解题效率,而且还可以强化方法意识,使学生的思维方式得到升华;因此,数学的学习既要有知识的学习,又要有思想方法的渗透,在教学中探究数学思想方法的终极目标就是提高学生的思维品质和数学素养,实现《数学课程标准》中的教学三维目标.另外,从教育学的角度来看,数学思想方法比数学知识更为重要,这是因为:数学知识是定型的,静态的,而思想方法则是发展的,动态的,知识的记忆是暂时的,思想方法的掌握是永久的;知识只能使学生受益于一时,思想方法将使学生受益于终生.故增强数学思想方法的培养比知识的传授更为重要,数学思想方法的掌握对任何实际问题的解决都是有利的[2].“师者,传道授业解惑也”,我想“传道”在前的意义就在于此.因此,数学教学必须重视数学思想方法的渗透.

二、初中宏观型数学思想的渗透策略

如果说数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法,那么数学思想方法就是指现实世界的图形空间和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结晶,它是对数学理论与数学事实的本质认识.数学思想和数学方法是数学知识中奠基性成分,是学生获得数学能力必不可少的.“小升初”后初中生面临三大挑战:从算术到代数,从代数到几何,从常量到变量,螺旋上升,层层积淀;代数思想、数形结合、化归与转化思想、方程和函数思想、分类思想等数学思想更是步步紧逼.

下面我就结合自己的教学实际,谈谈自己对初中数学中的主要的五种宏观型数学思想方法的渗透策略,与业内同仁共勉.

(一)代数思想的关键是从算术到代数的符号化转换,是一种思维形式的转变:其关键一是符号表示,二是符号变换,三是意义建构;代数的思想是一种基于规则的推理,是一种数学建模活动.新人教版初中七年级数学第一章引进负数,数域扩大到有理数范围后,第二章是整式的加减,开启了学生“代数生涯”,教学中学生难以理解,但教材的安排并不唐突,在小学数学我们已经开始接触用字母、符号或图片表示特定的数和式;例如:小学低年级学习10以内的加减法时学生解答过类似这样的习题:3+□=9,学习表内乘除法时,6×□=42,3×a=21,在学习了四则运算后还有一些稍复杂的,如5×△+24÷3=23,(5+◦)×7=63;小学高年级用字母表示交换律,结合律、分配律并引导学生用字母表示相关的运算定律,用s=ah表示平行四边形的面积,用s=ah/2表示三角形的面积公式,以及圆的面积,圆柱、圆锥的体积等等都用字母表示,这些运算定律及公式的探索过程,本身就是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程,渗透了代数思想和方程思想等重要数学思想,使学生在学习和认识上有了一步步飞跃.故在初中教学中代数思想的渗透依然要遵循循序渐进、螺旋上升的原则,如文火煎药.

(二)数形结合思想主要是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.由数融形、形融数、数形结合来解决具体数学问题.

在学生“小升初”后,七年级数学上册第一章中就引入“数轴”这一感念,表示生活中具有“相反意义的量”,通过数轴了解相反数,绝对值的几何意义,比较有理数的大小,理解有理数加法、乘法的意义,掌握运算法则等;八年级引入无理数,数域扩大到实数范围后,建立了平面直角坐标系,我们在教学中要以数轴为基点,创设情境,进一步加深学生对数形结合思想的认识,如在教学“平面直角坐标系”这一节知识内容时,教师可针对性地进行情境创设,引导学生分析并思考问题,鼓励学生提出数学问题.在教学之前,教师可要求学生提前准备三面不同颜色的小彩旗、数字卡片和红线,我们可以将每个学生看成是一个点,教室看成一个平面,在教室里建立起活灵活现的平面直角坐标系,让学生找自己具体位置,并引导学生思考“能够采用什么方法表示自己的准确位置?”,进而引出有序数对,结合点动成线,线动成面理论,培养学生完成课本知识内容的同时,培养数形结合思想.

(三)化归与转化的思想.化归是指在解决问题的过程中,对问题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法.[3]常采用化“未知”为“已知”、化“复杂”为“简单”的解题思路,其核心就是将等待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题,以便利用已有的知识、技术来加以处理,从而培养学生用发展的、运动的、联系的眼光认识事物、看待问题.如在初中方程解法的学习中,我们就是利用消元、化归的方法,从繁杂到简单,化二元为一元、降幂、化分式为整式完成方程解法的学习,实现知识的稳步迁移和螺旋上升.

(四)方程及函数思想.从实际问题入手,审题分析数量关系,设元,找等量关系,把实际问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程(方程组)和函数的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法,这就是方程及函数思想.如七年级数学上册第三章一元一次方程,在行程问题、工程问题的教学中,由于学生已经熟知算术方法,所以学生更容易理解接受用算术方法解决实际问题,反而对方程方法比较排斥.例如:一项工程甲工程队单独干,8天完成,乙工程队单独干4天完成,甲工程队先干了5天,为了赶工期,甲乙合作再干几天能完成?此题用算术方法:(1-5/8)÷(1/8+1/4)=1(天),一目了然,学生当然不会选择方程,所以我们在选题时就应注意,选取的问题必须是利用已知量无法求解或很难求解,这时我们在引入未知量参与计算,列出方程,从而让学生感受到方程的魅力.方程及函数思想解题的关键就是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)和函数模型.这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用.函数的引入,将方程(组)、不等式和函数图像有机结合,成为了数形结合的完美诠释,尤其是最值的引入,实现了数学教学的三维一体目标,体现了数学作为工具学科的属性.

(五)分类的思想.分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想.在数学教学中,有些问题会有多种情况,需要加以分类,逐类求解,然后综合得出结论,这就要应用分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.如在直线与圆的位置关系中,我们可以利用多媒体演示日出的动画过程,让学生真切感受到太阳与地平线从有交点到没交点,并根据交点的个数进行分类,来定义相交和相切;再如圆与圆的位置关系教学中我们可以利用“天狗吃月”的故事引出课题,再利用多媒体播放月食过程的动画慢镜头回放,引导学生发现圆与圆的位置关系,即外离、外切、相交、内切、内含,然后在根据交点的个数标准进行分类,将其分为相离、相切、相交.分类的原则是分类中的每一部分是相互独立的;分类必须统一标准;分类讨论应逐级进行.正确的分类既不重复、也不遗漏.

总之,数学思想方法是对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略.数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分.数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它贯穿在数学知识的发生、发展和应用的每一个阶段.抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.

因此,在学习过程中要注意体会教材中选取的例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养学生用数学思想方法解决问题的意识[4];在教学实践中一要遵循循序渐进原则,二要注重螺旋上升,三要反复渗透;在教学中要根据学情设计教学方案,合理制作、利用短小精悍教学课件,将枯燥的数学课堂氛围变得丰富多彩,将抽象的数学思想变得触手可及,调动学生的学习兴趣,不能让学生感到高深莫测,从而望而生畏.