保E*关系且方向保序严格部分一一变换半群的秩

龙伟锋， 徐 波， 龙伟芳， 李 湘

(1. 厦门大学数学科学学院， 福建 厦门 361005; 2. 贵州师范大学数学科学学院， 贵州 贵阳 550001; 3. 凯里学院理学院， 贵州 凯里 556011; 4. 遵义师范学院数学学院， 贵州 遵义 563002)

0 引言

变换半群的秩一直是变换半群研究的一个重要课题， 国内外许多学者对此进行了深入广泛的研究[1-9]. 设X为有限集合,E为X上的等价关系且IX为X上的对称逆半群. 令IE*(X)={f∈IX:对任意x,y∈domf, (x,y)∈E当且仅当(f(x),f(y))∈E}. 则IE*(X)为IX的逆半子群， 称为保E*关系部分一一变换半群.文献讨论了它的Green关系与秩.

令X为有限集合，E为X上的等价关系且IE*(X)为X上的保E*关系部分一一变换半群. 设f∈IE*(X)且dom(f)={a1,a2, …,ar}， 其中a1f(ai+1)， 则称f为(X上的)保E*关系且方向保序部分一一变换.

设X(X=n)为有限集合,E为X上的等价关系,IX是X上的对称逆半群且Sn是X上的n次对称群, 令SOPIE*(X)为X上的所有保E*关系且方向保序严格部分一一变换之集, 即SOPIE*(X)={f∈IXSn:f为保E*关系且方向保序部分一一变换}. 则易验证SOPIE*(X)是IE*(X)(IX)的逆子半群, 称为保E*关系且方向保序严格部分一一变换半群.

任取x,y∈X, 若x≤y, 定义[x,y]={z∈X:x≤z≤y}. 对于一般情形, 即对任意的有限全序集X和X上的任意等价关系, 很难描述半群SOPIE*(X)的秩. 因此, 先考虑一种特殊情形. 本研究总是假设X={1, 2, …,nm}{n≥3,m≥2}为全序集,E为X上的等价关系, 满足E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪…∪(Am×Am)， 其中：Ai=[(i-1)n+1,in]，i=1, 2, …,m. 本研究在上述全集与等价关系下， 讨论了SOPIE*(X)的秩.

1 预备知识

设f∈SOPIE*(X), 用dom(f)表示f的原象集， im(f)表示f的象集. 为了叙述方便本研究在SOPIE*(X)上引入下面的二元关系, 对任意的f,g∈ SOPIE*(X), 定义

则LΔ,RΔ,JΔ都是SOPIE*(X)上的等价关系， 易见LΔ⊆JΔ,RΔ⊆JΔ. 对0≤r≤nm-1， 记

Kr={f∈:SOPIE*(X)im(f)=r}

Vr={f∈:SOPIE*(X)im(f)≤r}

则K0,K1, …,Knm-1恰好是SOPIE*(X)的nm个K类， 其中K0是由空变换组成， 而V0,V1, …,Vnm-1是由SOPIE*(X)的nm个理想构成的理想链， 并且SOPIE*(X)=Vnm-1.

下面说明本研究用到的符号与概念.任取f∈SOPIE*(X),Ai∈X/E， 若Ai∩dom(f)≠∅(i∈{1, 2, …,m})， 为了方便记f(Ai)=f(Ai∩dom(f)).任取f∈SOPIE*(X),Ai∈X/E, 若Ai∩dom(f)≠∅， 不妨设Ai∩dom(f)={a1,a2, …,ar}且a1

本研究未说明的符号与概念请参见文献[10].

2 主要结果与证明

定理1Kr⊆Kr+1Kr+1(r≤nm-2).

任取f∈Kr， 其中0

情形1Ap∩dom(f)=n-1

不妨设

其中:a1

a1

f(a1)

以下分三种情况讨论.

1)i=j. 令

则

令η(x)=x,x∈im(f)∪c. 显然η,ξ∈Kr+1，ηξ=f. 从而f∈Kr+1Kr+1.

2)i

由ξ的定义， 显然ξ∈Kr+1. 令

根据η的定义， 显然η∈Kr+1.

下证ηξ=f. 由η,ξ的定义， 易验证dom(ηξ)=dom(f)且

此外考虑当x∈dom(f)Ap时，ηξ(x)=η(f(x))=f(x). 故ηξ=f.

综上所述，f∈Kr+1Kr+1.

3)i>j. 证明类似于2)的证明.

情形2Ap∩dom(f)≤n-2

设

其中:a1

由ξ的定义， 显然ξ∈Kr+1.

设s是在1, 2, …,t中使得f(as)≠qn+s的最小整数， 则f(as)≥qn+s+1. 下面分三种情况一一讨论.

Ⅰ)s

根据η1的定义， 显然η1∈Kr+1. 令

按η2的定义， 显然η2∈Kr+1

下证η2η1ξ=f. 由ξ,η1,η2的定义， 易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且

此外考虑当x∈dom(f)Ap时，η2η1ξ(x)=η2η1(f(x))=f(x). 从而η2η1ξ=f，f∈Kr+1Kr+1.

Ⅱ)s=i+1. 令

根据η1的定义， 显然η1∈Kr+1. 令

由η2的定义， 显然η2∈Kr+1.

下证η2η1ξ=f. 由ξ,η1,η2的定义， 易验证dom(η2η1ξ)=dom(f)且

此外考虑当x∈dom(f)Ap时，η2η1ξ(x)=η2η1(f(x))=f(x).从而η2η1ξ=f，f∈Kr+1Kr+1.

Ⅲ)s>i+1， 证明类似于Ⅱ)的证明.

综上所述Kr⊆Kr+1Kr+1.

定理2V0⊆V1⊆…⊆Vnm-1=SOPIE*(X)为理想链， 每个Vr(r=0, 1, …,nm-1)都是SOPIE*(X)的逆子群， 且Vr=〈Kr〉(r≤nm-1).

证明 由定理1， 可得Vr=〈Kr〉(r≤nm-1).

在Knm-1中考虑元素g0,g1, …,gnm-1， 定义如下：

1)g0:X1→X{nm}

2)gi:X{nm-i+1}→X{nm-i}(i∈{1, 2, …,nm-1}).

若存在整数k(1≤k≤m)， 使得nm-i+1,nm-i∈Ak， 则不妨设nm-i=n(k-1)+s(1≤s≤n-1). 于是

若存在整数k(1≤k≤m)， 使得nm-i∈Ak，nm-i+1∈Ak+1， 则不妨设nm-i=nk,nm-i+1=nk+1. 于是

由g0,g1, …,gnm-1的定义， 易验证im(gi)=dom(gi+1)(i={0, 1, …,nm-1})， im(gnm-1)=dom(g0).

定理3令A={g0,g1, …,gnm-1}， 则A是SOPIE*(X)的生成集.

证明 任取s∈Vnm-1.注意到dom(g0), dom(g1), …, dom(gnm-1)是集合{1, 2, …,nm}的所有势为nm-1的子集， 则存在i,j∈{0, 1, …,n-1}， 使得dom(s)=dom(gi)，im(s)=dom(gj). 若i

定理4rankSOPIE*(X)=mn.

证明 设B是SOPIE*(X)的生成集.注意到定理3中的A也是SOPIE*(X)的生成集且A=nm， 则要证rankSOPIE*(X)=mn， 只要证B≥nm， 即证明对任意i∈{0, 1, …,nm-1}， 存在t∈B, 使得dom(t)=dom(gi). 由gi∈SOPIE*(X)且B为生成集， 知存在t1,t2, …,tk∈B(k∈N), 使得gi=t1t2…tk.注意到gi≠1， 则t1,t2, …,tk不全为恒等映射， 于是存在j∈{1, 2, …,k}， 使得tk=1(1≤k≤j-1)且tj≠1 . 从而dom(gi)=dom(tj). 因此B≥nm， rankSOPIE*(X)=mn.