多层级模糊联盟结构合作对策τ值计算方法及其性质

杨靛青， 吕伟强， 俞裕兰

(1. 福州大学经济与管理学院， 福建 福州 350116; 2. 福建商学院国际经济贸易系， 福建 福州 350500)

0 引言

在合作对策的研究中, 有一类对策主要研究的是考虑局中人组成多层次联盟单元后参与大联盟合作, 获得大联盟收益后再逐层次在联盟单元内部进行公平、 合理的分配, 这种合作对策称为多层级联盟结构合作对策. 经典合作对策主要考虑的是局中人以独立个体形式参加大联盟, 它可以被视为多层级联盟结构合作对策的特殊情况, 即单层联盟结构合作对策. 1977年,Owen提出两层联盟结构(简称联盟结构)合作对策, 其主要思想是局中人先组成联盟单元, 然后以联盟单元形式参与大联盟利益分配, 最后在联盟单元内部进行利益分配. 此后, 在Owen联盟结构思想的影响下, 联盟结构合作对策的夏普利值(也称Owen值)、 班兹哈夫值、τ值和核心等[1-3]陆续被提出. 1989年Winter公理化多层级联盟结构合作对策夏普利值进而证明其满足的性质. 在此基础上， Alvarez-mozos等将经典合作对策班兹哈夫值扩展到多层级联盟结构合作对策上. 杨靛青等[6-7]构造了多层级联盟结构合作对策τ值， 给出了该值的简便计算方法并讨论了其满足的一些重要性质. 在现实管理中, 由于客观原因限制, 局中人可能以一定参与程度组成多层级联盟结构后参加大联盟合作, 而在进行利益分配时也应考虑局中人参与程度的影响, 这种合作对策被称为多层级模糊联盟结构合作对策. 早期对多层级模糊联盟结构合作对策的研究主要集中于单层模糊联盟结构合作对策. Aubin根据Zadeh提出的模糊集思想, 首次将经典(清晰)联盟合作对策进行推广, 定义了单层模糊联盟结构合作对策(简称模糊联盟合作对策), 并提出了模糊核心解. 此后, 其他研究先后提出了模糊联盟合作对策的稳定集、 Weber集、 夏普利值和τ值等[9-11]解概念. Meng等[12]将联盟结构合作对策夏普利值进行拓展, 提出模糊联盟结构合作对策的夏普利值, 证明该解的存在性和唯一性. 目前对多层级模糊联盟结构合作对策解的研究已取得了一些成果, 但主要集中在Shapley值、 核心等解上, 没有发现对多层级模糊结构合作对策τ值进行研究.

本研究探讨了多层级模糊联盟结构合作对策τ值的求解方法和性质. 结合模糊集概念和多层级联盟结构思想, 定义多层级模糊联盟结构. 在此基础上, 定义了τ值, 研究其计算方法和满足的性质, 证明了此类对策τ值满足有效性、 商对策性及策略等价下的共变性等性质.

1 多层级模糊联盟结构合作对策

清晰联盟合作对策可表示为一个序对〈N,v0〉, 其中N={1, 2, …,n}表示n个局中人集合,v0为清晰联盟合作对策的支付函数, 它是N的幂集2N到实数集R的映射, 即v0:2N→R且满足v0(∅)=0. 记G0(N)为N上清晰联盟合作对策的集合. 为方便起见, 将N{i}简写成Ni,v0({i})简写成v0(i),v0(S∪{i})简写成v0(S∪i).

2 多层级模糊联盟结构合作对策τ值的计算方法及性质

2.1 模糊联盟商对策τ值

定义1设v[SBr]∈GLq(N)和S(N)∈L(N), 满足

1)m(v[S(Br)])≤M(v[S(Br)]);

定义2设v[S(Br)]∈Guqb和S(N)∈L(N)， 称:

τ(v[S(Br)])=m(v[S(Br)])+α(M(v[S(Br)])-m(v[S(Br)]))

2.2 多层级模糊联盟结构合作对策τ值及其性质

(1)

(2)

(3)

2)mi(v, [S(Br)])≤Mi(v, [S(Br)]),i∈I(Br);

则称为〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉是拟均衡的. 记Gcqb为拟均衡的r层联盟模糊结构合作对策集合.

定义4若〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉∈Gcqb和S(N)∈L(N), 则

定理1多层级模糊联盟结构合作对策τ值具有以下性质：

证明 根据多层级模糊结构联盟合作对策τ值的定义, 可以很容易地证明其满足有效性、 个体合理性和商对策性. 下面重点证明策略等价下的共变性.

2.3 多层级模糊联盟结构凸合作对策

定义7设v∈G(N)和S(N)∈L(N). 若对任意T1，T2⊆N, 有

v(S(T1)∨S(T2))+v(S(T1)∧S(T2))≥v(S(T1))+v(S(T2))

由于v[S(Br)]∈Gfcov, 则根据定义7, 对i∈I(Br)和S⊆I(Br)i, 有

(4)

由于τr+1(v)存在, 根据定义1和定理2， 对任意j∈I(Br+1)， 有

(7)

(8)

又dj≥0, 有

(9)

由于dj≥0,Si≥0, 有:

由式(6), 可得

(10)

由式(4)以及式(9)～(10), 可得

mi(v, [S(Br)])≤Mi(v, [S(Br)]) (11)

由式(5)以及式(7)～(10)可得：

由式(5)与式(7)可得：

(12)

由Gcqb的定义, 有〈v, [S(Br)], [S(Br+1)]〉∈Gcqb.

3 算例分析

4 结语

本研究定义了多层级模糊联盟结构合作对策τ值并提出其计算方法, 讨论存在性条件, 并证明满足有效性、策略等价下的共变性等性质.该值是合作对策τ值的一般形式. 对于凸合作对策, 该τ值存在且简化τ值的计算过程. 但该τ值的存在要满足合作对策是拟均衡的且联盟结构相对固定, 下一步将重点研究不同联盟结构对τ值的影响.