老师，为什么这方法失灵了？——一道高考题的解题反思

陈崇荣

做真题、研真题是老师、学生们的热门话题，笔者也布置了一些真题给学生做并对其进行讲解，在讲评2018年全国卷Ⅰ文科第21题时引发了紧张而又惊喜的一幕．

题目（2018年全国卷Ⅰ文科第21题）已知函数f（x）=aex-lnx-1．

（1）设x=2是f（x）的极值点，求a的值，并求f（x）的单调区间；

一、课堂实录

针对第二问，多数学生表示简单但不会做．一起来看下同学们思维受困的原因．

师：我们来看下标准答案：

生1：老师，题目要证明当时，f（x）≥0不就等价于去证明当时，f（x）≥0恒成立，而恒成立问题，又等价于去证明当，这是解决恒成立问题的通性通法啊．老师，为什么该方法在此题失灵了呢？

我的解题过程如下：

f′（x）=aex-f″（x）=aex+0，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增．

当x从右边无限趋近于0时，f′（x）＜0；当x无限趋近于+∞时，f′（x）＞0．

所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得f′（x0）=0，即．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，所 以f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增．所以f（x）min=f（x0），即f（x）min=aex0-lnx0-1．老师，后面解不出来了．

师：这位同学把问题转化为了我们熟悉的恒成立问题，而且也通过“设而不求”的方法求出了函数的最小值f（x）min=aex0-lnx0-1，很好．那么大家想想如何证明函数的最小值会大于0呢？

生2：根据ln（aex0）-1=+lna-1≥0．当且仅当时，即x0=1时等号成立．从而不等式得证．

师：回答得很好．

生3：老师，我也是转化为恒成立问题，但不是去求f（x）的最小值，而是分离了参数a，也是解不出来，为什么呢？我是这样解答的：

生4：我觉得可以考虑再次求导．令因为h（x）定义域为（0，+∞），所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）=0．所以当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0．所以g（x）在x∈（0，1）上单调递增，在x∈（1，+∞）上单调递减，于是所以命题得证．

师：刚才这几位同学的思考方向及解决办法都非常好，其实就是利用了解决恒成立问题的通性通法——最值法和参数分离法．同学们，还有其他方法吗？老师刚刚在你们思考的同时也想到了另外一种方法．

由不等式ex≥x+1得ln（x+1）≤x（x＞1），即lnx≤x-1．

二、解题反思

每次试卷讲评后，部分学生都懊恼：那么简单的方法考试的时候为什么就想不到呢？自然想法无法通达，通性通法难以奏效．原因在于同学们对相关问题的理解浮于表面、流于形式，平时训练采用“题型+技巧”的题海战术，却没有跳出题海，不能理清问题的逻辑，更谈不上透过现象揭示本质，领会数学思想和方法内涵了，以至于解题时被命题人牵着鼻子走，撞到南墙不回头．

分别记上述四种方法为法一、法二、法三、法四．法一是官方给出的答案，第一步就应用了放缩法，把问题转化为证明g（x）=法二转化为恒成立问题—求最值的通性通法，零点不可求，但采取迂回战术，采用“设而不求”，利用零点满足的关系化简最小值，从而利用不等式证明出其大于0．法三转化为恒成立问题—分离参数—求最值的通性通法，本质是反复利用导数的符号与原函数的单调性的关系．法四是应用了课本不等式ex≥x+1，要求同学们对该不等式熟悉，且会灵活变形、赋值、配凑等技巧，要求较高．

三、学好数学四步走

第一步是弄“懂”．“懂”是指对数学概念、公式、法则的产生、背景一清二楚，对概念的内涵外延要理解和掌握．

第二步是弄“会”．“懂”了不一定“会”，懂和会是不一样的层次．同学们是否有这样的感受：上课听懂了，但作业、考试还是不会做．为什么呢？原因有两种：一种是很多学生都是假懂，似懂非懂；另外一种是从懂到会还有一段路程要走，要经历“套用”—“变用”—“活用”三个阶段．“套用”，指直接套用公式、法则、解题方法；“变用”指能灵活使用公式、法则的变型，包括正用、逆用、变形用；“活用”是在陌生情景也能创造条件转化为我们熟悉的模型、情景，从而套用公式、法则或是解题方法等．经历了这三个阶段，这才叫“会”．

第三步是做“对”．“会”了，不一定“对”，即“会”而不“对”．因为有时自己感觉“会”做了，其实是“雾里看花”，假“会”，数据改一改，条件变一变立马就不会了．万变不离其宗．真正做到“会”，就要在“宗”字上下功夫．变式训练、组题训练的目的就是让学生“沉入水底”，认“宗”悟“宗”，真正理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学基本思想．

第四步是“快”．“天下武功，无坚不破，唯快不破”．“对”了，不一定“快”．熟能生巧，熟则快捷．要做到“见题生法，见招拆招”，一是要全面掌握各个模块知识点，二是要熟悉各种解题思路和方法，还要有扎实的基本功以及敏捷、严谨的思维品质．