求曲线的轨迹与曲线的轨迹方程的常用方法初探

郭远明

求曲线的轨迹与轨迹方程是解析几何中最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础.这类题目把基本知识、方法技巧融为一体，充分考查了学生的逻辑推理能力、运算求解能力，分析问题解决问题的能力，因而也是历年高考所要考查的重要内容之一.

本文介绍求轨迹与轨迹方程的主要五种方法 ：直、待、代、参、交

1.直译法：直接把动点满足的几何条件或等量关系转化为x，y的方程关系，再化简，即可得动点的轨迹方程.

例1：已知点 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹为（   ）

A. 直线    B. 圆    C. 椭圆    D. 双曲线

分析：根据题设的等量关系，直接列出x，y的方程，再化简，即可得.

解：设点   ，则 ，化简可得 ，所以点 的轨迹是半径为4的圆，选B .

变式题1：已知 ，动点 满足 ，求证：点 的轨迹为圆

分析：本题没有给出坐标系，应先建系，再设点，列等式，后化简，即可得.

2.待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、 抛物线等）的定义，然后设出曲线相对应的方程，求出其中待定的系数，从而得到动点的轨迹方程.解题时要善于抓住曲线的几何特征.

例2：已知点 ，直线 ，点 是直线 上的动点，若过点 垂直于 轴的直线与线段 的垂直平分线交于点 ，求点 的轨迹方程.

解析：由题意可得 ，故点 的轨迹是以 为焦点、直线 为准线的抛物线.设所求方程为： ，依题可得： ，所以点 的轨迹方程为： .小结：根据题意，点 的轨迹符合抛物线的定义，于是用待定系数法求其轨迹方程.

3.相关点代入法：如果点 的运动是由于点 的运动引起的，可以先用点 的坐标表示点 的坐标，然后代入点 所满足的方程，即得动点 的轨迹方程.

例3.已知 是抛物线 的焦点，  是该抛物线上的动点，求线段 中点 的轨迹方程

解析：点 因 动而动， 是 的相关点，于是设 ， ，依题可得：  ，

，所以 ， ，又点 在抛物线 上，所以有 ，化简可得： ，即为点 的轨迹方程.

4. 参数法：如果轨迹上的动点 的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，而动点 的运动是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参为 ，然后用这个参数表示动点的坐标，即 ， 再消去参数 ，从而得动点 的轨迹方程. .

例4.  已知 ， 分别在 轴和 轴上运动，  为原点，  ，求点 的轨迹方程.

解析：引入参数 表示点 的坐标，利用 ，可得 ，再利用向量的等式关系，用 表示 有： ，代入化简，即可得点 的轨迹方程为： ，小结：用参数法求解时，选定参变量，再消参，化为普通方程.

5.交轨法：在求动点的轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常先列出两曲线的方程（含参数），再消去参数，即可得所求的轨迹方程，该法常与参数法并用.

例5.  已知点 在圆 上，且 垂直于 轴， ，求直线 交点 的轨迹方程

解析：引入直线 的斜率 作为参数，分别写出直线 的方程，再消去参数 ，可得.

显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ， ，又直线 互相垂直，直线 关于 轴对称，所以直线 的方程为： ，消去参数 ， 可得  ，即點 的轨迹方程.

求曲线的轨迹与轨迹方程的主要方法有直译法、定义法、待定系数法、相关点代入法、参数法等，此外还有几何法等，在处理轨迹问题时， 要特别注意题目中所表达的几何性质，再运用平面几何知识， 起到简化作用. 在解题时，要根据题目的特点，合理选用恰当的方法.