中考数学复习课的核心任务及教学策略

印冬建

（江苏省如皋市石庄镇初级中学）

中考复习是义务教育阶段的终结性复习，一般安排在九年级下学期.此时，各门学科陆续进入复习阶段，繁多的教学内容与紧张的教学时间形成了强烈的反差.如何在有限的时间内，让学生获得的数学知识产生聚变效应，也就成为很多一线教师的追求.笔者对中考复习进行了连续多年的摸索，理清了中考复习课的核心任务，并设计了与之匹配的教学策略，现将其与各位分享.

一、清除认知盲区

人的认知是有盲区的，数学学习也不例外.中考复习的首要任务就是清除学生的认知盲区，这些盲区，有的是由于新知学习一知半解所致，有的是由于巩固训练半途而废所致，有的是由于知识融合浅尝辄止所致……在众多的原因中，最为主要的是遗忘.在中考复习课上，我们应力求以典型例题唤醒旧知，在认知盲区反复点击，强化感知，以求盲区的自然消失.

案例1：“一元二次方程”复习课教学片断.

本节课上，教师让学生解答下面的例题组，并要求学生在小组中交流各题的解题结果、解题过程和解题注意点.

例1关于x的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0的一个根是0，则k的值是_______.

例2若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________.

例3已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值.

8分钟后，教师组织全班学生交流.

师：说说你解答这三道例题的思路.

生1：根据一元二次方程的解的定义，我将方程的一个根x=0代入方程，即可以求出k的值为1或0.

师：那要注意什么呢？

生2：因为方程是关于x的一元二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0，也就是k-1≠0.所以k的值只能取0.

师：例2和例3也需要进行这样的讨论吗？

生：是！

师：具体说说.

生3：例2，根据“一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根”，我们可以列出两个不等式，k-1≠0和b2-4ac=16-4(k-1)≥0，解得k≤5，且k≠1.

生4：例3虽然没有直接说给出的方程是一元二次方程，但根据题中给出的“两个相等的实数根”，我们同样要保证所给方程为一元二次方程.所以，我们能列出两个式子来解题.

师：说得真好！那么，解答这三道题时，有多少同学没有考虑全面呢？

教师请没有关注到一元二次方程这一条件的学生举手，全班48名学生，有26人出现失误.

师：看得出，我们在八年级下学期获得的一元二次方程的定义，已经被大家遗忘了！在接下来的解题中，希大家要密切关注，并用好这一知识.

【片断简析】“一元二次方程的二次项系数不为0”是与一元二次方程相关试题的解答易错点.由于学生获得这一知识是在八年级下学期，距离中考复习已有近一年的时间，因而出现“48人解答，26人出错”这一结果也就在情理之中了.在上面的教学片断中，学生在组内先进行了解答与交流，将自己的解题结果和解题过程进行分享，并交流解题的注意点，这为下面的全班交流做了很好的铺垫.接下来，教师对解题过程进行了重点分析，尤其对学生的认知盲区“一元二次方程的定义”进行了反复强调，通过对这一知识点的三次体验，使得学生对遗忘的知识有了较为清醒的认识，这对学生的知识网络的完善是非常有利的.

教学策略：教师要帮助学生清除认知盲区，首先应先找出学生的认知盲区，并设计对应的复习题组和探究活动.课堂上，教师除了让学生自主解答设计好的题组，还应将重点放在题组解答过程的交流上，在对认知盲区的频繁点击中，深化学生的认知.当然，基于这一策略之上的题组设计与交流仅仅起到了唤醒的作用，真正的盲区清除还离不开必要的后期训练，通过与盲区关联的题目的反复解答实现对知识的强化感知，从而达成中考复习的首要核心任务.

二、建构知识网络

中考复习课上，教师还应着力于帮助学生完善知识网络.中考一般都具有选拔功能，完备的知识和能力系统能让学生在中考中将获得的“四基”的价值发挥出来.为了达成知识的网络化这一目标，教师在中考复习中应有意识地设计一些能够让知识关联的数学问题，力求以有效的题组训练帮助学生逐步梳理所获得的知识，最终形成一幅“基于知识点的网络框图”.

案例2：“平行四边形”复习课板书设计及分析.

“平行四边形”复习课上，教师通过多个题组的解答与交流，将四边形及其相关知识在黑板上进行了板书，最终通过箭头或连线将这些知识联接在一起，形成了如图1所示的知识网络.

图1

【设计意图】义务教育阶段，学生学习的与平行四边形有关的知识点很多.但是由于学生获得这些知识的时间已经过去了一年多，加之在后续新知获得过程中，与平行四边形相关知识的应用并不是十分频繁，使得他们无法对平行四边形的知识网络反复感知，对知识的来龙去脉及相关关系也就随时间的推移逐步被遗忘.为了帮助学生以完备的知识体系迎接中考，教师有必要帮助学生将平行四边形的知识网络重新建构一遍.这种建构与新知获得时的最大差别在于，不再需要进行探究，只需在知识的应用中唤醒并及时在预设的区域板书出来，最终形成如图1所示的这种网络图.如此板书设计，是基于学生对平行四边形相关题组解答之上的呈现，确保了知识唤醒的即时性，对学生知识的快速网络化是十分有效的.

教学策略：在我国，学生较为系统地获取数学知识始于一年级.到中考，学生一般会经历九年的数学知识的系统学习，如此漫长的学习历程，知识的系统化程度自然不会很高.因此，教师有必要帮助学生将这些零散分布的数学知识重新串联起来，形成知识网络.基于复习课的特点，这种网络化一般以题组解答与交流展示为主要方式.笔者认为，复习课的知识网络建构应是重建与充实，是对学生已有知识网络的强化感知，我们要关注知识的横向和纵向联系，以题目为载体将各个板块的知识串联在一起，形成基于整体的数学复习教学.因而，题组的设计和板书的呈现应有极强的目的性，在什么时间解答什么样的题组，抽取哪些知识，板书在黑板的哪些部位，都应经过课前的精心预设，决不能随意而为.

三、强化核心应用

核心知识是指具有较强的应用性和发展性的数学知识，是中考的高频考点.相对于很多基础知识的考查，核心知识的考查体现试卷的区分度，能较好地体现出学生在数学学习上的差异.因而，在中考复习时，教师可以通过题组解答与交流对话来强化核心知识的应用，培养学生的应用意识，帮助他们积累应用经验，并充分感知核心知识的解题价值.

案例3：“基于翻折的直角三角形”专题复习教学简录.

在中考专题“基于翻折的直角三角形”复习课上，教师设计了如下题组.

1. 如图2，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（ ）.

图2

2.如图3，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为___________.

图3

图4

3.如图4，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长.

课堂上，教师让学生首先解答第1题，然后就解题时如何从条件入手逐步抽象出方程这一解题模型进行了细致分析，对解题过程中用到的轴对称的性质、勾股定理、方程等知识进行了同步梳理.通过师生对话，让原本在学生脑海中的“翻折—直角三角形—勾股定理—方程”的解题路径得以重现，使学生充分感知到勾股定理和方程这些核心知识在问题解决中的作用与价值.接下来，教师要求沿着刚刚梳理出的路径解答第2题，并在小组中按照全班交流的流程（结果→思路→知识→方法→注意点）进行交流.10分钟后，小组交流结束，全班学生再度交流了第2题的求解历程，教师将上面的解题路径进行了二次强调，要求解题要“知其然，知其所以然”.第3题，教师要求学生自主解答，并力求给出规范的解题过程.在学生解题过程中，教师安排了两名学生将自己的解题过程进行了板书.后续的所有交流紧贴学生给出的板书展开，首先是学生个体的对比分析，发现自己解题过程与板书的差异，然后是组内的对比辨析，找寻存在的共性问题，最后是对两名学生展示的解题过程的点评修正，完美的思路与规范的过程实现最终定格.

【片断简析】案例中，教师设计的这三道题，从题型来看，设计与本市中考题型完全匹配，为“基于翻折的直角三角形”这一类综合问题的解答清除了题型干扰；从情境来看，三道题都是以翻折为背景，虽然折叠的图形有三角形、矩形及正方形之分，但都形成了直角三角形，这样的设计让学生熟悉了与本专题相关联的主要情境，对今后解答此类问题时提取解题经验是有利的；从主题看，三道题都是对勾股定理与方程的深度应用，与本节课的教学主题高度吻合，有利于学生反复感知教学主题的解题价值.

在教学实施过程，学生逐题解答与交流，让学生的知识提取与应用经历了一个“由陌生到熟悉，由散乱到规范”的过程.解答这两道客观题，只需要学生给出结果，无需规范的过程，因而很多学生可以凭直觉对给出的图形进行判断，并根据图形的性质得出最终的结果，这样的求解历程仅说明学生“知其然”，为了帮助学生重新回顾这类问题解答的“知其所以然”，对第3题，教师让学生给出完整且规范的解题过程，在实现解题路径的巩固强化的同时，进一步加深了学生对勾股定理、方程等核心知识的价值的感悟.

教学策略：核心知识的应用能力的强弱对中考至关重要.在中考前，利用专题复习进行核心知识的强化应用是较为常见的提升学生解题能力的途径.在专题复习课上，每一道例题都应指向本节课的复习主题，无论是例题的题型，还是问题的情境，或题目的难度等都应与中考匹配.还有，这些例题在课堂上呈现时要注意梯度，无论是学生的解答，还是互动交流，都应有一个预热的过程，要通过具有明显梯度的追问让学生渐入佳境，实现知识的回顾和能力的提升.

四、归纳解题套路

思维过程的优化，有利于学生知识水平与能力的提升.由于新授知识阶段，知识点零散且缺乏规律可循，因而，在日常教学中就想着优化学生的解题思维显然是不现实的.中考复习是对义务教育阶段所有数学知识的彻底清理与融合.面对这些繁杂的数学知识与多变的问题情境，学生对知识的提取与应用未必走的是最佳路径.此时，教师就有必要帮助他们优化解题思维，指明最为便捷的解题路径，形成多维度适用的解题套路.最终，通过适当的巩固训练使其融入到学生的知识网络中，成为学生知识与技能的一部分，从而有效提升学生的解题效度.

案例4：“函数图象信息题”复习课教学片断.

教师投影如下例题，让学生自主分析并解答.

例某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件.该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成如图5所示的图象，图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示在函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件.

图5

（1）第24天的日销售量是__________，日销售利润是__________.

（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围.

（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少？试销售期间，日销售最大利润是多少？

10分钟后，学生解答完毕，教师组织全班学生交流.

师：说说你们的解题思路.

生1：第（1）小题，根据图象给出的点(22，340 )和“每增加1天日销售量减少5件”，可以求出第24天的日销售量，再根据“日销售利润=单件利润×日销售量”，求出日销售利润.

师：好的！点(22，340)表示什么含义？

生2：第22天的销售量为340件.

师：22表示的是什么？

生3：销售时间是第22天.

师：那横轴上的17和30又表示什么呢？

生4：表示的是第17天和第30天.

师：为什么？

生5：因为横轴表示的是销售时间.

师：那么纵轴又表示什么呢？

生6：纵轴表示的是日销售量.

师：很不错！对照给出的文本信息和图象信息，我们可以读出某些关键点的含义.那么，你还能说出图中其他关键点的含义吗？

生7：(17，340)，说明第17天的销售量也是340件.

师：读懂这些关键点的含义，我们就能解答这道题吗？

生8：不能，题中还有成本价、售价和线段DE中函数关系的变化规律（时间每增加1天，日销售量减少5件）等关键信息，这对我们解题同样重要.

师：看来，函数图象信息题，不只要关注图象分析，还要重视文本解读.第（2）小题，怎么解？

生9：从图象上看，“y与x之间的函数关系式”应分为两段.

师：具体说说，你是怎么求的？

生10：根据点(17，340)的坐标，利用待定系数法即可求出线段OD的函数关系式为y=20x.根据第22天销售了340件，结合时间每增加1天，日销售量减少5件，即可求出线段DE的函数关系式为y=340-5(x-22)=-5x+450，联立两函数关系式，求出交点D的坐标为D(18，360).所以，y与x之间的函数关系式为y=

师：太棒了！第（2）小题中求出的函数关系式，在第（3）小题中有用吗？

生11：有用的.根据（2）中的函数关系式，分0≤x≤18和18＜x≤30两段列出关于x的一元一次不等式(8 -6 )×20x≥640和(8-6)×(8-6)-5x+450≥640，求得解集为16≤x≤26.所以，日销售利润不低于640元的天数共有11天.

师：这11天中，日销售最大利润出现在哪一天？

生12：第18天.

师：为什么？

生13：单件利润是2元，找出日最大销售量就可以求出日销售最大利润.点D(18，360)是函数图象的最高点，也就是第18日时，有日最大销售量为360件，此时的利润为360×2=720（元），所以，试销售期间日销售最大利润是720元.

师：看来在这个问题的解决中，起关键作用的还是最高点这样的“关键点”.通过这道例题的解答与交流，给你今后解答函数图象信息题有什么启示？下面请在小组中交流，并尝试归纳函数图象信息题的解题套路.

学生小组交流，教师巡视倾听，并不时参与组内交流.

最后，教师引导学生归纳出图象信息题的解题套路：分析坐标轴→理解关键点（起点、终点、交点、拐点、顶点、中点等）→解读图中线（线段、射线、抛物线、双曲线等）→建构模型（函数、方程、不等式等）→解模作答.

【片断简析】函数图象信息题是中考的常见试题，这类试题一般具有较大的难度，如果不能从所给的题目中捕捉到有用的信息，很难顺利解答.所以，为学生总结归纳出此类试题的解题套路应该是中考复习的重点之一.在上面的片断中，教师让交流基于学生的自主解答之上，首先是组内的交流，实现了解题思路、过程和经验的分享；接下来是全班交流，教师的递进式追问，既实现了解题过程的梳理，又实现了关键能力的明晰；最后是小组交流与全班交流的融合，实现了解题套路的归纳和共享.应该说，教师将解题套路的教学置于整个教学进程之中，在这则片断中，随着交流的推进，学生的思维被不断地规范化、模式化，思维的路径被不断地矫正.最终，“优化学生思维，建构解题套路”的教学目标在无形中达成，扎扎实实地提升了学生分析问题和解决问题的能力.

教学策略：就题讲题，绝对不是中考复习课应有的做法.“做一题，讲一类，会一片”，不仅是上面片断中获得成效的基本原因，也是一线教师常用的解题套路建构路径.为此，我们常常会选择一些典型例题，深入剖析其解题过程，从中找出能够形成解题套路的生长点，从而将解题套路的每一个环节巧妙地嵌入到教学进程之中.总的来说，例题的设计，尤其是专题复习课的例题设计，应紧紧围绕解题套路的建构展开，在什么时间点上出现什么环节，用什么问题引出这个环节等，都应是教师精心预设并精准实施的.解题套路的建构，应是基于师生互动的有效产物，是学生知识应用与技能提升的自然生成，教师要在关键点上为学生的自主归纳“助攻发力”.

五、培养答题习惯

中考复习，教师不能只关注知识的梳理和技能的训练，还应注意培养学生的答题习惯，在学生解题的意志品质和情感发生上做些文章，力争让他们能够以积极的情感态度投入到中考答题中去.为此，我们可以从以下几个方面做些努力.

1.悉心指导，提升审题技能

审题是中考要过的第一关.所以，教师要对学生进行详细的审题指导.审题指导应着力于培养学生的数学阅读能力和捕捉关键信息的能力.其中，较为常见的就是教师展示审题范式，学生临摹审题并矫正提升.笔者常会选择一些较为典型的例题，课上对这些例题用“解剖麻雀”的方式进行审题分析，对题目所给的文字信息、图形信息、图象信息和表格信息等进行逐一分析，找到问题解决的关键点，归纳出同类型问题的共性析题方法，最终提升学生的审题技能.

2.适度训练，发展运算素养

数学运算是中考数学解题的必备技能.作为义务教育阶段需要着力发展的六大数学核心素养之一，数学运算能力对于几乎所有的数学问题的解答都是非常重要的.数学运算素养所包含的内容很多，既有运算法则和运算顺序的准确应用，又有运算技巧和运算方式的灵活调整.也就是说，考试中不仅要算得对，还要算得巧，算得快.因此，中考复习应注意推动学生运算素养的综合发展.运算素养的训练，既可以是基于某种运算的专项训练，如数的运算、式的运算、解方程等，也可以是融合于综合型问题中的即时训练，如案例4中的解方程或不等式等，都应让学生自主经历，不宜仓促.

3.梯度解答，强化成功体验

同一道数学题，不同的学生解答的感受是不一样的.一般地，综合型问题的解答能给优等生带来较为强烈的成就感，而给基础薄弱学生留下的只能是挫败感.显然，不同的数学问题的解答也会给学生留下不同的情感体验.而基于解题经历的丰富的情感体验，将会直接影响着学生中考中的情感发生.笔者认为，积极的解题情感的发生一定是源于丰富的情感体验.因此，中考复习，不只是解题、教题这么简单，我们应借助于解题过程来推动学生向解题情感的形成.为此，笔者尝试引入分层设置，让学生解答自己能力所及的例题，通过这种“跳一跳，摘到桃”的方式可以强化学生解题的成功体验，为中考做适度的情感铺垫.

4.规范作答，重在榜样示范

对中考而言，答题习惯好的外显形式就是学生给出的工整书写和规范的解题过程.想要呈现工整书写和规范过程，日常训练固然重要，中考前的集中训练同样不可缺失.中考前，进行规范作答的集中训练，能在短时间内改掉学生“胡乱书写，随意作答”的坏习惯.那么，如何才能让学生做到规范作答呢？笔者认为，教师应该发挥榜样的示范作用，在例题教学时，要重视规范解题过程的展示及教学比对，要让学生通过对自己答题过程的即时矫正发现存在的问题，找到解决这些问题的方法，为中考乃至今后的数学学习养成好的习惯.当然，例题的解题范式的展示不仅对中考复习有效，对日常教学同样重要，这就希望教师能在“教给学生对的，教给学生方便的”的同时，还要教给学生规范的解题过程.

中考复习，既关乎学生个体的发展和成长，更关乎社会的和谐与稳定.因此，对于一线教师而言，做好中考前的复习同样是在为学生的终身发展和社会稳定做贡献.但愿以上梳理的中考数学复习课的核心任务及教学策略能给一线教师带去稍许启示.