初中“轨迹”概念教学的难点剖析与突破策略

杨 冰

（华东师范大学第二附属中学附属初级中学）

轨迹是平面几何的重要概念之一，在初中的几何证明或作图问题中，常会提到各种轨迹的性质或表述.为此，对初中平面几何教学中常见的一些轨迹的作法和性质的研究，是初中几何教学中的重要内容.它对发展学生的逻辑思维、提高数学语言表达能力，以及分析和解决几何问题的能力，都具有重要的意义.

然而，初中平面几何里“点的轨迹”概念的教学，是数学教师公认的难点.那么它究竟难在何处？如何突破教学难点？本文以笔者执教的沪教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“轨迹（1）”一课为例，谈一谈自己的看法.

一、“轨迹”概念教学的难点剖析

“轨迹”是对图形规律的抽象概括，是培养学生推理论证能力的重要学习素材.“轨迹”的学习，是为了认识某图形区别于其他图形的本质特征，研究图形的构成规律.如何从熟悉的图形中抽象出本质特征，是教学的第一个难点.同时，概念中涵盖了三层含义：轨迹、点的轨迹（集合）、符合条件的所有的点的轨迹（集合），从而增加了学生理解的难度.

轨迹的概念中应用到了集合的思想，必须具备纯粹性与完备性的双重性质，其定义形式对于习惯借助直观形象与常见数学模型理解数学概念的初中学生来说，的确较为抽象.因此，如何帮助学生正确理解轨迹概念中蕴含的双重性质是教学的第二个难点.

“轨迹”教学对培养学生的空间想象能力、数学表达能力有重要的作用.然而学生空间想象能力的差异，造成了对轨迹概念理解的局限性.因此，如何准确描述轨迹，实现文字语言、图形语言、符号语言之间的“转译”，是教学的第三个难点.

二、基于难点剖析的教学目标定位

基于以上对教材的理解以及学情的了解，对本课的教学目标和重、难点做以下定位.

1.教学目标

（1）从生活实际出发，以最熟悉的“圆”入手，剖析轨迹的定义；

（2）掌握线段的垂直平分线、角的平分线和圆三条基本轨迹，能通过文字语言的描述准确转译出三条基本轨迹；

（3）通过轨迹的学习，初步感知集合的思想，会用运动变化的观点看待数学图形，在几何问题探究与解决过程中逐步提高学生的空间想象能力、推理论证能力和数学表达能力.

2.教学重、难点

（1）教学重点：会用描点、画图的方法画点的轨迹，并用文字语言进行描述.

（2）教学难点：

①对轨迹定义的理解，对于轨迹的完备性与纯粹性的恰当渗透；

②根据学生差异，有效发展学生的空间想象能力和数学语言“转译”能力.

三、针对教学难点的课堂预设

在尊重教材，关注学生差异的前提下，为了突破“轨迹”概念教学之难，笔者尝试对教学设计与教学方法做以下处理.

1.提前起步，渗透轨迹

以线段的垂直平分线、角的平分线的性质定理与逆定理为载体，初步讲述“点的集合”的含义，渗透轨迹思想，引出“点的轨迹”的教学主题；预伏轨迹概念中所含的纯粹性与完备性的思想内涵，为学生学习轨迹概念打下基础.

2.动静结合，感受轨迹

“轨迹”思想在物理学、天文学、生活中有广泛的应用.教学中通过展示实例，生动地将多种真实事物的原型抽象成数学图形，捕捉每一个“点”运动的时刻，汇集成线，使学生直观感受数学中的轨迹.

3.化圆为迹，剖析轨迹

以学生最熟悉的圆为抓手，将纯粹性剖析为“满足条件的点”，将完备性剖析为“所有点都满足条件”，简化轨迹概念中抽象的集合思想内涵.

4.变式设计，活学轨迹

以作图的结果为标准，通过改变条件，对“轨迹”的研究进行变式教学.充分利用几何画板软件动态作图，与学生共同探究轨迹由点到线（曲线）的形成过程.教学中，为了适切地应对不同学生空间想象能力的差异，在处理对轨迹的绘制过程中，给出描点法与化归法两种策略，供学生灵活选择.

四、基于难点突破的教学策略

1.情境引入，“轨迹”初现

（1）情境1：观看行星运行动态图，感受轨迹的动态定义.

师：同学们请看，行星在做什么运动？

生：沿着曲线（各自的运行轨道）运动.

师：这样一条条的“曲线”是真实存在的轨道吗？

生：不存在.

师：那么，我们该怎么理解，怎么刻画这些“轨道”呢？

师生共同归纳：我们可以把“轨道”看作是符合某些条件的点的集合.将行星（抽象成点）运动过程中经过的每一个位置看作一个点，那么所有点的集合，就形成了运行轨道（抽象成曲线）.

（2）情境2：展示珠海航展中喷气式飞机飞行表演时在天空中划过的曲线，感受轨迹之美；展示手机导航软件，渗透轨迹在生活中的应用.

（3）课题引入.

师：这些运动所形成的路线明显不是随意的，是在某些条件下形成的，在数学中，我们称之为“轨迹”.我们把“轨迹”定义为“符合条件的所有的点的集合”.

【设计意图】“轨迹”概念中有三层含义：轨迹、点的轨迹（集合）、符合条件的所有的点的轨迹（集合）.这部分教学需重点阐明三者的联系与区别.

从字面意义上理解：

（1）轨迹：“轨”当“轨道”“路线”“规矩”、讲秩序；“迹”指留下的印迹.

（2）点的轨迹（集合）：是直线、平面曲线或空间曲线.

（3）符合条件的所有的点的轨迹（集合）：是指按照条件限定在空间运动形成的图形.

为了帮助学生正确理解数学中的轨迹概念，教学时，从生活中的轨迹入手，运用运动的观点，通过现实情境（太空中行星运行轨道、喷气式飞机划过的曲线、手机导航软件等）、准数学情境（将星球与飞机等抽象成点，将轨道与路线等抽象成线）和数学化情境（点动成线，汇点成线）三个层次来帮助学生理解轨迹概念．

在概念的引入阶段，问题情境的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系，使得学生对“点的轨迹”有个感性认识.这里通过问题串的设计，由现实情境，数学情境，进而上升到抽象水平，抽象出数学概念．

2.剖析“轨迹”，完善认知

情境1：以图形剖析概念中“图形（轨迹）上的每一个点都符合给定条件”（纯粹性）.

师：（如图1）到点A的距离等于AP的点的轨迹是这个可爱的熊猫头像吗？

图1

生：不是的，熊猫头像中耳朵上的点不符合条件．

情境2：从摆动的钟摆走过的路线抽象出弧线，剖析概念中“符合条件的每一个点都在图形（轨迹）上”（完备性）.

师：（如图2）到点A的距离等于AP的点的轨迹是吗？

图2

图3

生：不是的，到点A的距离等于AP的点所形成的图形不仅仅是.到点A的距离等于AP的点所形成的图形是“以点A为圆心，以AP为半径的圆（如图3）”．

【设计意图】基于学生已有的知识——圆，从生活实际出发，设计非概念变式，辨析轨迹概念中的三层含义，有助于学生理解轨迹概念中的“堵漏防杂”（纯粹性与完备性），让学生在理解过程中，从形象思维上升到抽象思维．

对于轨迹概念的强化与剖析，从集合的观点，引导学生思考与分析.

（1）图形（轨迹）上的“所有点”与条件有什么关系？

（2）符合条件的“所有点”与图形（轨迹）有什么关系？

进而使学生认识到：判断“图形（轨迹）”是否为符合条件的所有的点的轨迹（集合），即看它是否同时满足以下条件.

（1）纯粹性：图形（轨迹）上的每一个点都符合给定条件；

（2）完备性：符合条件的每一个点都在图形（轨迹）上．

3.“基本轨迹”，强化概念

强化圆、线段的垂直平分线、角的平分线的轨迹概念描述．

基本轨迹1：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．

基本轨迹2：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

基本轨迹3：在一个角的内部（包含顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．

【设计意图】强化圆、线段的垂直平分线、角的平分线轨迹概念的文字描述与集合内涵.

（1）通过问题：轨迹上的每一个点都符合什么条件？形成轨迹，需要把握哪些关键词？对轨迹概念中“某些条件”进行具体化和抽象化.

（2）由三种基本轨迹需要满足的条件，确定三种模型：点点定距、点点等距、点线等距，为后面“描绘”轨迹做好铺垫．

4.变式设计，“描绘”轨迹

主线1：将教材中例题结合基本轨迹进行变式重组，以作图的结果为依据，改变条件，使学生学会用基本轨迹解释简单的轨迹问题．

主线2：使学生学会轨迹的图形表示，把轨迹上的点应符合的几何条件转化为图形语言来表达．

主线3：设计问题串，强化轨迹概念中“集合”内涵的双重性质．

题组1：（1）如图4，在同一平面内，到点A的距离等于1 cm的点的轨迹；

（2）如图5，在同一平面内，过点A且半径为1 cm的圆的圆心O的轨迹；

图4

图5

题组2：（1）如图6，在同一平面内，和定点A，B距离相等的点C的轨迹；

（2）如图7，在同一平面内，经过定点A，B的圆的圆心O的轨迹；

（3）如图8，在同一平面内，以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹.

图6

图7

图8

题组3：（1）如图9，在同一平面内，与直线AB的距离为1 cm的点的轨迹；

（2）如图10，在同一平面内，与平行直线AB，CD的距离相等的点的轨迹；

（3）如图11，在同一平面内，在∠AOB内部，到角两边距离相等的点的轨迹.

图9

图10

图11

【设计意图】三个题组的变式设计，从轨迹的结果上，对应三条基本轨迹.通过这一轮问题，既强化了学生对基本轨迹的认识，又传授了轨迹画图的描点法策略和化归策略.在轨迹问题中，有时描点法与化归法结合使用可以帮助学生更加快速、准确的画出轨迹.题组3的另一个难点在于由“点到直线的距离”向“点到点（垂足）的距离”转化．

5.回望反思，巩固所学

通过“学会了什么？感受到了什么？解决了什么困惑”三个问题，引导学生回顾和梳理本节课的收获．

五、教学反思

开展“轨迹”的概念教学，围绕着一些基本的轨迹图形开展适当变式是十分必要的.通过教学反思，笔者认为在变式设计时，建议把握以下几条主线.

（1）进行题组变式时，在变化中认清本质，分析过程中渗透化归法，重视剖析轨迹满足的条件，化归为基本轨迹，具体包含如下几方面.

①点点定距（圆）；

②点点等距（线段的垂直平分线）；

③点线等距（平行线或角的平分线）.

在变化中，梳理概念的结构，提炼数学思想、方法；在变化中，提高学生思维的深刻性和灵活性，更重要的是在变化中形成思维的独创性，培养学生的创新思维．

（2）重视轨迹概念的不同表现形式，包含文字语言、图形语言、符号语言，三种语言之间的灵活运用，对于学生深入理解概念、应用概念非常重要．

为处理学生空间想象能力的差异和几何语言“转译”能力的差异，给出描绘轨迹可操作的方法，方便记忆与操作.分析过程中渗透对动点条件的探究，采用试点探究、连线描绘、轨迹猜想，得出轨迹雏形；通过学生展示与教师追问，确认“堵漏防杂”，描绘完整轨迹.同时，结合几何画板软件的演示，弥补学生空间想象能力差异造成的问题．

（3）通过不断追问，如“图形（轨迹）上的每一个点是否都符合给定条件？符合条件的每一个点是否都在图形（轨迹）上？”等有关轨迹概念中的核心问题，强化轨迹概念中“集合”两层内涵的认识．

在本节课中最大的收获是在遇到教学中的难点时，深钻教材，活用教材，选择适当的教法，结合多媒体手段，克难制胜.为突破难点，笔者对于教学设计的结构上进行了多次尝试，看如何将多种轨迹更好的呈现，并且能够帮助学生在遇到任何的轨迹问题时，都能通过可操作的方法进行寻找.在研究的过程中，也加强了我们对如何改进数学教学的研究路径的认识，这也像是“轨迹”，记录下了教师专业成长之路.