在学习椭圆时常见的三个解题误区

■江苏省沭阳高级中学

椭圆是圆锥曲线中最重要内容之一,也是高考的必考内容。椭圆试题涉及的内容多,且解法灵活。常有一些似是而非的问题,由于我们对某些概念或公式理解上的模糊,从而造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断,以致我们的解题思维走入误区。

误区一:缺乏对第一定义的深刻理解,应用定义时考虑不深刻、不全面

例1动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和为的8,则动点P的轨迹为( )。

A.椭圆 B.圆

C.一条线段 D.无轨迹

错解:选A。

剖析:上述解法忽视了椭圆第一定义中的条件2a＞|F1F2|而导致错误,题中的8等于焦距,所以点P的轨迹是一条线段。

正解:选C。

评注:当2a＞2c＞0时,轨迹为椭圆;当2a=2c时,轨迹为线段F1F2;当2a＜2c时,轨迹不存在。

误区二:在确定含有参数的方程所表示的椭圆类型时,考虑问题不全面

例2椭圆2x2+my2=2m的焦距为6,求m的值。

剖析:由题设不能确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上,因此,双曲线的焦点还有可能在y轴上,因此解出m的值可能有两个。

综上,m=11。

误区三:在解析几何中,忽视了Δ＞0这一前提条件

例3给定椭圆方程经过点B(2,2),能否作直线m,使m与所给椭圆交于两点Q1和Q2,且B是中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,请说明理由。

错解一:假设m存在,则m不垂直于x轴,可设m的直线方程为y-2=k(x-2)。

设点Q1和点Q2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)。

错解二:假设直线m存在,则直线m不垂直于x轴,可设直线m的直线方程为y-2=k(x-2)。

两式相减,得:

3×(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0。

因为Q1Q2的中点B的坐标为(2,2),故x1+x2=y1+y2=4。

正解:假设直线m存在,则直线m不垂直于x轴,可设m的直线方程为y-2=k(x-2)。

(4k2+3)x2+16k(1-k)x+16k2-32k+4=0。①

评注:“代入相减法”需要掌握,但应先判断曲线与直线是否相交,即当题目出现“直线与圆锥曲线交于不同两点”这一条件时,一定要优先考虑Δ＞0。