三角形面积公式S=12d·|y1—y2|在圆锥曲线中的应用

孙莎

在圆锥曲线中，与三角形面积相关的问题是高考的一个考点，而三角形面积公式除了常用的S=12ah，S=12absinC之外，还有一种S=12d·|y1-y2|，当一个三角形通过割补后，其面积可表示为共底边d的两个三角形面积和或差时，适合用此公式.下面就此公式在圓锥曲线中的应用进行举例说明.

例1椭圆x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2-y1|的值为（）.

A.53

B.103

C.203

D.52

解析椭圆x225+y29=1，a=5，b=3，c=4，

因为△ABF2的内切圆面积为π，所以内切圆半径r=1.

因为S△ABF2=12（AB+AF2+BF2）·r，其中AB+AF2+BF2为△ABF2的周长，等于20，

而S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=12|F1F2|·|y1|+12|F1F2|·|y2|=12|F1F2|·|y1-y2|（A，B在x轴的上、下两侧），其中|F1F2|=8，

所以12×20×1=12×8·|y1-y2|，即|y1-y2|=52.

本题是公式S=12d·|y1-y2|的典型应用，其中d=|F1F2|为一定值，本质上S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2，△AF1F2和△BF1F2有公共边|F1F2|，|y1-y2|是两三角形高之和，从而S△ABF2=12|F1F2|·|y1-y2|.

例2已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为直径的圆经过F2，PF1·PF2=116a2，直线l经过F1与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成△ABF2.

（Ⅰ）求椭圆E的离心率;

（Ⅱ）设△F1PF2的周长为2+3，求△ABF2的面积的最大值.

解析（Ⅰ）因为F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为直径的圆经过F2，则PF2⊥x轴，所以|PF2|=b2a，又因为PF1·PF2=116a2，所以|PF2|2=116a2，即b2a=14a，所以a2=4b2，即a2=4（a2-c2），化简得ca=32，从而椭圆E的离心率 e=32.

（Ⅱ）因为△F1PF2的周长为2+3，所以2a+2c=2+3，又因为ca=32，所以a=1，c=32，所以b2=14，从而椭圆E的方程为x2+4y2=1.

由题意可知，直线l斜率不为0，所以设直线l的方程为x=my-32，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my-32，x2+4y2=1， 得（m2+4）y2-3my-14=0，

Δ=3m2+m2+4=4m2+4>0，

y1+y2=3mm2+4，y1y2=-14（m2+4），

S△ABF2=12|F1F2|·|y1-y2|=32（y1+y2）2-4y1y2=323m2（m2+4）2+1m2+4=3m2+1m2+4.

令t=m2+1，则m2=t2-1且t≥1，

所以S△ABF2=3tt2+3=3t+3t，

因为t+3t≥23，当且仅当t=3t，即t=3，m=±2时取等号，所以S△ABF2≤12，即S△ABF2的最大值为12.

本题若用常规方法解，需分类讨论直线l斜率存在与否，当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+32，由面积公式S△ABF2=12|AB|·d，其中d为F2到直线l的距离，经计算S△ABF2=3|k|1+k21+4k2，式子比较复杂，过程相比上述方法也烦琐些.

在圆锥曲线中，解决与三角形相关问题主要方法是代数运算，往往运算量大，不仅容易算错，而且影响解题速度，所以在解题时如碰到上述类似题型时，可以选择面积公式S=12d·|y1-y2|，会对解题带来很多便利.