动静转化 巧解高考压轴题——几道高考题引发的换位思考

罗先文

(湖南省常德芷兰实验学校 415000)

问题1 (2014天津理科22)设f(x)=x-aex(a∈R).已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1

(1)求a的取值范围；

这一小问的解答，充分利用了数形结合的思想，过程简单流畅，易于理解.

(2)依题意有，x1-aex1=0 (1);x2-aex2=0(2).

又对(1)式两边取对数得：lnx1=lna+x1(3);lnx2=lna+x2(4).

第二小问的解答，采用了动静转换的思想，把参数a，由静变为动，通过讨论字母x1,x2关于a的单调性，使问题迎刃而解.

问题2 (2016年全国卷2，第21题)

解 (1)略.

问题3 (2010年安徽卷理科，第21题)已知函数f(x)=ex-2x+2a.

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.

解 (1)略.

(2)以a为主变元，x视为常数.设：g(a)=2xa+ex-x2-1，是关于a的增函数，g(a)≥g(ln2-1)=2x(ln2-1)+ex-x2-1.记p(x)=2x(ln2-1)+ex-x2-1,那么p′(x)=ex-2x+2ln2-2(x>0).

容易证明：p′(x)≥0(x>0)，所以p(x)是关于x的增函数，故p(x)>p(0)=0，从而g(a)>0，也即，ex>x2-2ax+1成立.证毕.

由此可见，合理的应用数学思想方法解决数学问题，尤其是难题，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术.