一道高考题的多角度解法与推广

侯立刚

(安徽省灵璧中学 234200)

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

一、解法

(1)略.

(2)主要是探求∠OMA=∠OMB成立的一个充分条件.

1.利用kMA+kMB=0

解法一 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

综上，∠OMA=∠OMB.

解法二 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

综上，∠OMA=∠OMB.

故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.

2.利用tan∠OMA=tan∠OMB

解法四 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

过A,B分别作x轴的垂线，垂足依次为C,D.

3.利用cos∠OMA=cos∠OMB

解法五 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

以下同解法二.

4.利用角的对称性

解法六 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

以下同解法一.

5.利用角平分线性质

解法七 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

由角平分线性质知，∠OMA=∠OMB等价于点O到直线MA、MB的距离相等.

直线MA、MB的方程分别为(x1-2)y-y1x+2y1=0,(x2-2)y-y2x+2y2=0

以下同解法五.

解法八 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴不重合时，设l的方程为x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2<0，x1=my1+1，x2=my2+1.

因为y1y2<0，所以上式可整理得2my1y2-(y1+y2)=0.

因此∠OMA=∠OMB⟺2my1y2-(y1+y2)=0 .

以下同解法二.

6.利用向量

解法九 当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°；

当l与x轴不重合时，设l的方程为x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2) .

以下同解法五.

7.利用全等三角形

解法十 由条件可知，过M点垂直于x轴的直线x=2恰好是椭圆C相对于焦点F的准线.

当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.

当l与x轴不重合时，过A,B分别作准线的垂线，与准线依次交于C,D.

因此Rt△ACM∽Rt△BDM，从而∠AMC=∠BMD，故∠OMA=∠OMB.

二、推广

证明 当l与x轴重合时，直线MA和直线MB与x轴所成的角都是0°，此时mn可以取任意非零实数.

当l与x轴不重合时，设l的方程为x=ty+n，A(x1,y1),B(x2,y2) .

则x1=ty1+n，x2=ty2+n，x1≠m，x2≠m.

综上，直线MA和直线MB与x轴所成的角相等的充要条件是mn=a2.

这个结论的证明只要将椭圆中的b2换成-b2即可，不再赘述.

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，M(m,0),N(n,0)是x轴上不同的两点(都异于抛物线的顶点).过点N作直线l与抛物线C交于A,B两点，则直线MA和直线MB与x轴所成的角相等的充要条件是m+n=0.

证明 由条件知直线l的斜率不为零，可设l的方程为x=ty+n，A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=ty1+n，x2=ty2+n，x1≠m，x2≠m.

所以y1+y2=2pt,y1y2=-2pn.

于是2ty1y2+(n-m)(y1+y2)=2t·(-2pn)+(n-m)·2pt=-2pt(m+n).

又t∈R，所以kMA+kMB=0⟺-2pt(m+n)=0⟺m+n=0.

故直线MA和直线MB与x轴所成的角相等的充要条件是m+n=0.

三、高考特例

1.(2018年全国卷Ⅰ文科20题)设抛物线C:y2=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN．(就是3中p=1,n=2,m=-2时的特例)

(1)当k=0时，分别求C在M点和N点处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

(1)求椭圆E的方程；

4. (2013陕西理20题)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点B(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．