利用多种方法证明三角形的内角和是180°

孙静芝

摘要：<正>逻辑推理作为数学核心素养之一，在数学教学中一直受到关注和重视.相比较其他数学内容，几何证明在这方面有独特的教育价值。

关键词：证明 数学教学

我们学习了三角形的内角和定理，知道了三角形的内角和为180°。对于这个定理，我们可以利用多种方法进行证明，以下是我从几个不同的方面总结的几种证明方法，现拿来分享，以拓宽学生的思维：

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等干180°

已知：如图1，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的三个内角，

求证：∠A+∠B+∠C=180°

思路：1.用辅助线构造出一个平角，再用平行线“移动”内角，将其集中起来。

2.想办法将三角形的三个内角放在两条平行线的两同旁内角的位置上。

利用第一种思路得到下列几种证明方法：

证法一 ：如图2，延长边BC到D，并过顶点C作CE∥BA；

∵CE∥BA（作图）

∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），

∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.

又∵∠1+∠2+∠ACB=180° （平角的定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

证法二： 如图3，过顶点C作DE∥AB；

∵DE∥AB（作图）

∴∠1=∠A，∠2=∠B（两直线平行，内错角相等）.

又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定义），

∴∠A+∠ACB+∠B=180°

证法三：如图4，在BC边上任取一点D，作DE∥BA，DF∥CA，分别交AC于E，交AB于F；

则∠2=∠B，∠3=∠C（两直线平行，同位角相等），

∠1=∠4（两直线平行，内错角相等），

∠4=∠A（两直线平行，同位角相等），

∴∠1=∠A（等量代换）.

又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义），

∴∠A+∠B+∠C=180°.

证法四： 如图5， 作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1=∠A；

于是CE∥BA（内错角相等，两直线平行）.

∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）.

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

证法五：如图6，在△ABC的内部任取一点D，连结AD、BD，并延长分别交边BC、AC于点E、F，再连结CD；

则∠7=∠1+∠2，∠8=∠3+∠4，∠9=∠5+∠6（三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.

又∵∠7+∠8+∠9=180° （平角的定义），

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

利用第二种思路，也可以设计出几种证法，证法如下：

证法六：如图7，过顶点C作CD∥BA；

则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）.

∵CD∥BA.

∴∠1+∠ACB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

∴∠A+∠ACB+∠B=180°.

证法七 ：如图8 ，任意作线段AD交BC于D，分别过点B、C作BE∥DA，CF∥DA；

则∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）.

∵BE∥DA，CF∥DA，

∴BE∥CF.

∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2=180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

上面用到的七种证明方法，都是将新问题通过各种方法转化为已经学过的问题进行证明，这样的方法在初中的几何學中经常会用到，有些书上将这种思路叫做化归思想。这种思想是一种重要的解题方法，它在我们做题时可以帮助我们确定思考的方向，因此，有必要让学生掌握。