创新椭圆教学设计，培养数学核心素养

崔永红

圆锥曲线特别是椭圆，是一个重要的数学模型，它有很多非常好的几何性质，在日常生活、社会生产及科学技术中都有着重要而广泛的应用，教材以“展示椭圆背景--构建椭圆概念--建立椭圆方程--研究椭圆性质”为主线，以“如何建立椭圆的方程及怎样用椭圆的方程研究椭圆的性质”为重点，这样处理，让学生经历从感性到理性的学习过程，符合学生的认知发展规律，符合用解析法研究几何问题的基本思想，体现了代数与几何的有机结合，是数形结合思想方法的具体体现，在此过程中逐步学会研究曲线性质的一般方法[1].

为让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的定义与性质，培养学生的数学化能力，提高数学素养，我们在椭圆的教学设计中进行了一些创新设计，按“操作演示一观察动点条件一归纳椭圆概念一观察图形特征（性质）一建立椭圆方程一用方程证明或探索椭圆性质”进行教学，取得了较好的效果.

1 创设情境，激发学习积极性

首先通过一个例子引入椭圆：1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起，海尔·波普彗星将逐渐接近地球，如图1，过4个月以后，又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空.1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象，天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，观察它运行中的有关数据，推算出它的运行轨道的方程，从而算出它的运行周期及轨道的周长，通过椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，让学生体会研究椭圆的重要性和必要性，体会数学的现实性，从而激发学习数学的积极性.

2 动手操作，突出椭圆的生成过程

椭圆的定义是一种发生性定义，可以通过描述椭圆形成过程进行定义，椭圆形成过程是椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，定义的教学是重中之重，因此在引入椭圆之后，教师演示椭圆的形成过程或让学生观看椭圆的作法微视频：将一根细绳的两端固定在画板F1，F2两点处，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔尖（粉笔）把细绳拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，就画出了一个椭圆，如图2.为让学生体会作图过程，观察椭圆的本质特征，再让学生在事先准备好的画板上分组动手作椭圆，老师或指导或帮助，并适时提出问题1，引导学生观察、讨论、归纳.

问题1 笔尖在运动过程中，有哪些是不变的？

生1：不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上点与两个定点距离之和不变），两个定点不变.

在此基础上，归纳出椭圆的定义，通过学生动手作椭圆，观察椭圆的形成特征，让学生经历探索、发现、归纳椭圆概念的形成过程是培养学生核心素养的最好方式，

为进一步掌握椭圆的本质特征，在潜移默化中培养了学生思维的严密性，又设计了问题2，让学生思考交流：

问题2 已知△ABC的一边BC=6，周长为16，则顶点A在怎样的曲线上运动呢？

绝大多数学生通过思考，能够得出顶点的轨迹是椭圆，但不少同学忽视了三角形这个条件，通过教师引导，学生个别交流，发现了问题，得出了正确结论.

3 观察分析，构建椭圆性质

在以往的教学中，椭圆的性质是在建立了椭圆方程之后，用解析法进行研究，符合用解析法研究几何问题的基本思想，但椭圆的作图（形成）过程这一很好的操作没有得到进一步使用，实际上我们在掌握了椭圆的概念之后，可以通过作图过程，趁热打铁，引导学生充分挖掘椭圆特征，进一步培养学生观察问题、分析问题能力[2].

3.1 直观想象椭圆的对称性

问题3 观察椭圆的作图过程，你能得出椭圆有哪些特征呢？

生2：椭圓关于直线F1F2对称，只要将细绳沿F1F2旋转180°，点P与点P1重合了，也就是椭圆上任一点P关于直线F1F2对称点都在椭圆上，

师：设直线F1F2与椭圆的交点为A1，A2，这样椭圆关于线段A1A2对称，如图3.

师：还有怎样的对称性？

生3：关于线段F1F2的垂直平分线对称，如图4、5.

师：线段F1F2的垂直平分线与椭圆的交点为B1，B2，线段A1A2与B1B2的交点为0，椭圆关于线段B1B2对称，为什么？

生4：只要将细绳的两个端点对调，点P与P1重合.

生5：还可以用平面几何证明P与P1关于线段B1B2对称.（证明略）

生6：椭圆也关于0点成中心对称，如图6.

师：很好！为什么？

生6：因为P与P1关于线段B1B2对称，P与P1关于线段A1A2对称，所以P与P2关于点0对称，

师：为便于表示，我们把点O称为椭圆的中心，线段A1A2称为椭圆的长轴，线段B1B2称为椭圆的短轴，椭圆与它的对称轴的交点A1，A2， B1，B2称为椭圆的顶点.

3.2 分析推理椭圆中a，b，c的几何意义

师：在椭圆中，有哪些线段的长是a呢？

生7：当动点P移动到B2时，|B1F1|和|B1F2|相等，即|B1F1|=|B1F2|=a，如图7.

师：再观察椭圆，还有哪些线段的长等于a呢？师生、生生思考交流，得到如下的推理过程：

∵A1F1+A1F2= 2a，

∴2A1F1+F1F2= 2a.

∵A2F1+A2F2= 2a，

∴2A2F2+F1F2= 2a，

∴2A1F1=A2F2，

∴A1F1+F1F2+A2F2= 2a，

即A1A2= 2a.

师：这样长轴长l A1A2 |=2a，那么短轴长是多少？

生8：∵B2F2 =a，OF2 =c，

∴B2O√（B2F22-OF22）√（a2-c2），

∴|B1B2|=2√（a2-c2）.

师：很好！为方便起见，我们把短轴长|B1B2|记为2b.把a叫做长半轴长，b叫做短半轴长，这样b2= a2-C2.

在传统的教学设计中，建立椭圆方程时，不少学生不理解为什么要以焦点所在的直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴，教师也说不清楚，有时教师不说，学生也不问，老师怎么讲，学生就怎么做，现在讨论了椭圆的对称性之后，也就顺理成章地理解了在建立椭圆方程时直角坐标系的选择缘由了，同时也自然地弄清了为什么教材在推导椭圆方程时令b2=a2-C2，为后续学习打下了伏笔，

引导学生观察、思考作图过程，再通过逻辑推理得出椭圆的对称性，培养了学生观察、分析问题的能力，让学生体会到定义长轴、短轴、顶点的必要性，感受到科学研究的过程，在潜移默化中培养了学生的科学研究的方法，通过作图过程的分析，还可以真正弄清椭圆中a，b，c的几何意义，

在常规教学时，用椭圆方程推导出椭圆的几何性质，符合解析几何的基本思想与方法，这样教学简洁明了，一学就会，但学生对a，b，c的几何意义理解不透彻，也失去了培养学生核心素养的好机会[3].

3.3 抽象概括椭圆的离心率

前面将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔尖拉紧绳子，在平面上画出一个椭圆，现在我们调整绳子的长度（分别加长、缩短），焦点不变，观察椭圆的“扁”的程度变化规律，可以看出，绳子越长，椭圆越圆，如图8，其中P1F1+P1F2= 7.72厘米，PF1+ PF2= 4.77厘米，

细绳的长度不变时，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律，焦距增大时，则所画出的椭圆较扁，焦距缩小时，则所画出的椭圆较圆，如图9，其中MFl =1.80厘米，MF2= 6.56厘米，Mr+MF2= 8.36厘米，

用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？由刚才的演示可见，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关，即与a，c有关，从上面的探索过程可以发现：

当c/a越接近于0时，椭圆越接近于圆;当c/a越接近于1时，椭圆越扁，即随着c/a增大，椭圆越来越扁，因此可用c/a来刻画椭圆“扁”的程度，从而顺利地得出离心率的概念，

围绕以什么样的量来刻画椭圆的扁的程度来进行探究，让学生充分参与，在获得真实的感性认识的基础上来定义离心率，将枯燥的数学转化为学生易于接受的问题情境，在主动参与中学习知识，既学得轻松，又学得有趣，让学生再一次感受数学知识的现实性.

在定义离心率时也有学生提出为什么不用b/a来刻画椭圆的扁的程度呢？从直观上，学生確实更容易想到用b/a来刻画椭圆的“扁”，但为什么选用c/a，这是因为a，c是定义中出现的确定椭圆的原始量，

改变教学设计，让学生在轻松愉快的氛围中一边操作，一边观察，一边思考，不知不觉中学会了椭圆的概念，发现了椭圆的性质，一改学生对数学枯燥的看法，一改以往课堂气氛沉闷、学生精力不集中的现象，学生不仅感到有趣，学得轻松，更重要的是培养了学生的创新思维，提高了学生的核心素养[4]，

当然，对椭圆的性质，在鼓励学生根据图形特征进行直觉猜想时，可充分运用信息技术直观展示椭圆的对称性和随着离心率的连续变化椭圆演变过程等等，帮助学生进行数学探究，在研究性质时，还要以思考、探究等形式创设问题情境，为学生提供探索、发现的机会，也为学生学会和掌握数学探索、数学发现的方法提供了平台，

在研究了椭圆的概念与部分性质的基础上，我们再研究椭圆的方程，并通过椭圆方程加以证明所学的性质或逻辑探究新的性质，让学生感受用方程研究性质的方法，从不同侧面、不同层次上提高学生的数学素养.

参考文献

[1]李丽萍.信息技术教育在数学教学中的应用[J].中国信息技术教育，2010 （9）： 25-27

[2]胡廷欣.网络环境下数学教学资源的获取、整合与活用[J].数学通讯，2013 （06）： 32-35

[3]方均斌.数学教学案例反思及延伸[M].成都：四川大学出版社，2009

[4]朱恒杰.新课程有效教学疑难问题操作性解读[M].北京：教育科学出版社，2012