二次曲线“幂定理”的一个几何模型构建

赵临龙

两千多年前，欧几里得（Euclid，公元前330-275）的《几何原本》问世之后，很快取代了以前的几何教科书，欧几里得的《几何原本》原始用希腊文写成，后来被翻译成多种文字.1255年左右，坎帕努斯（Campanus of Novara，约13世纪初-1296）参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文文本，重新将《几何原本》译成拉丁文.1482年，《几何原本》正式以印刷本的形式在威尼斯出版，这是西方最早印刷的数学书.[1]《几何原本>第三篇的第35个和第36个命题，为著名的“圆幂定理”，[2]

在几何中，圆幂定理成为人们研究线段关系的重要定理，因此人们将圆幂定理引入到二次曲线中，探讨二次曲线“幂定理”的线段关系式，

阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262-190年）的《阿波罗尼奥斯圆锥曲线论》（共8卷），前4卷最早由叙利亚人希姆斯（Hilal ibn Abi HilalaIHimsi，卒于883或884）译成阿拉伯文，第5-7卷由塔比伊本库拉（Thabit ibn Qurra，约公元826-901年）从另外的版本译成阿拉伯文.1537年，第1-4卷的拉丁文译本由J.B.门努斯（Menus）在威尼斯出版;1661年，第5-7卷最早的拉丁译本的译者是A.埃凯伦西斯（Echellensis）及G. A.博雷利（Borelli），在佛罗伦萨出版，《阿波罗尼奥斯圆锥曲线论》（第3卷），命题17、命题23，分别讨论了椭圆和双曲线的相关的“幂定理”，[3]但没有涉及到抛物线幂定理，

命题1（中心二次曲线幂定理） 过平面上一个定点P，任作一直线与中心二次曲线r交于D，E两点，过r的中心0作平行于PD的直线交r于点PD，则PE·PD/OK2为定值（这里PD，PE表示有向线段的数量）.

1891年，科克肖特（Cockshott）、沃尔特斯（Walters）著《圆锥曲线的几何性质》，给出抛物线的幂定理，[4]

命题2（无心二次曲线幂定理） 过平面上一个定点P，任作一直线与无心二次曲线r交于D，E两点，过r的焦点F作平行于PD的直线交椭圆于K1，K2，则PE·PD/k1k22为定值（这里PD，PE表示有向线段的数量）.

因此，二次曲线统一的“幂定理”形式，引起人们的注意，但文献[5-10]基本上都是从代数形式，并没有从几何上给出统一“幂定理”形式，对于一般二次曲线统一的“幂定理”的几何模型还没有完全建立，对二次曲线“幂定理”的内在结构未能很好认识，使二次曲线幂定理的应用受到极大影响.

1 椭圆的幂定理

定理1（橢圆的幂定理）设点P为不在椭圆r（其中椭圆中心为点0）上的一点，过点P的直线PAB，PCD分别与椭圆相交于点A，B，C，D，EOF与GOH分别为椭圆r中平行于两直线PAB，PCD的直径，证明：|PA|·|PB|/|PC|·|PD|=|EF|2/|GH|2

2 双曲线的幂定理

定理2 （双曲线的幂定理）

3 抛物线的幂定理

定理3（抛物线的幂定理）

4 二次曲线幂定理的统一形式

定理4（二次曲线的幂定理）

参考文献

[1]（希腊）欧几里得著，兰纪正，朱恩宽译.欧几里得一一几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003

[2]方亚斌.几何名题衍生高考题[J].中学数学杂志，2012 （3）： 49-53

[3]（英）阿波罗尼奥斯著，朱恩宽，张毓新，张新民等译.圆锥曲线论（1-4卷）[M].西安：陕西科学技术出版社，2007

[4]（英）A.科克肖特，F·B·沃尔特斯著，蒋声译，圆锥曲线的几何性质[M].上海：上海教育出版社，2002

[5]申建春.从圆幂定理到圆锥曲线幂定理[J].中学数学，1989 （2）：27

[6]朱连芳.圆幂定理在椭圆上的推广[J].辽宁大学学报（自），1994，21 （2）：24-27

[7]陈波.从圆幂定理到圆锥曲线幂定理[J].数学教学，1996 （5）：42-45

[8]吕子梁.圖幂定理在圆锥曲线中的推广应用[J].中学数学教学参考，1996 （12）（下）：42

[9]李超英.圆幂定理在圆锥曲线上的推广[J].中学数学月刊，2005 （11）：32-33

[10]郑观宝.圆锥曲线的“幂定理”[J].数学教学，1997 （6）：36-37