对一道高考试题的探究

许凤姣 刘成龙 蒋红珠

探究指“探索研究”，即努力找出答案，解决问题，数学探究活动指围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下文简称《课标》）指出：数学探究活动是数学内容的主线之一，数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体，”[1]可见，探究活动是新一轮课程改革提倡的重要数学活动形式，对学生数学素养的提升有益，下文以2013年高考安徽卷理科第9题（简称第9题）为探究问题，从背景、解法和拓展视角展开探究.

1 探究问题

希尔伯特指出：“数学问题是数学的灵魂，”数学问题是探究活动的起点，好的数学问题引领探究活动的顺利开展，伴随整个探究性活动，什么样的数学问题适宜于探究呢？“问题真实，源于学生实际;问题难度适中，符合学生最近发展区;问题背景深刻、内涵丰富;解答视角宽，便于学生从不同角度探究;问题可变性强，宜于推广和变式;问题与其它数学内容融合度大，”[2]第9题具有一定的难度、深度和广度，是一个好的探究问题，

问题再现（2013年高考安徽卷·理9）在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点Α，Β满足|OA|=|OB|= OA·OB =2，则点集{P|OP=λ0A+μOB，|λ|++|μ|≤1，λ，μ∈R）所表示区域的面积是（   ）

2 问题背景

背景指命题时选取素材中含有的知识、模型、问题、文化、思想和方法等，[3]试题背景引领试题编拟方向，凸显试题立意，研究试题背景，可以准确把握试题本质、理解试题设问、拓宽试题解法、加强试题拓展，第9题蕴含向量等系数和线（简称等和线）背景，

等和线定理[4]如图1，直线AB∥DE，点C为直线DE上任意一点，P为直线AB，DE外一点，若PC=mPA+nPB，则m+n=k=PC/PF（其中K为定值）.

特别地，A，B，C共线时，m+n=1，反之亦然，

等和线定理的推广形式为：

推廣型等和线定理如图2，设直线DE∥AB，直线DE'∥A'B，直线D'E'∥A'B'，直线DE'∥A'B，点C为四边形DED'E'边界上任意一点，若PC=x PA+yPB，PCi/PFi=k（i=1，2，3，4），则|x|+|y|=k.

推论1 若|PA|=|PB|，四边形ABA'B'的为矩形;

推论2 若|PA|=|PB|，|x|+|y|

由推论2 知第9题中点集P表示区域为矩形边界及内部，得S= 4S△OAB，毫无疑问，熟悉上述背景对试题的本质、试题的解法将有更加深入的认识.

3解法研究

P.R.Halmos指出：数学家存在的主要理由是解问题，数学的真正组成部分是问题和解，可见，解题研究在数学活动中占有十分重要地位，解题研究的视角有：一题多解、多题一解、一题多用、错解分析等等，[5]其中，一题多解指从不同视角对同一问题进行分析进而得到多种解答方法，通过对解法间共性与差异的把握，既能让学生认识问题的本质，又能培养学生的发散思维，[6]第9题从直观上看属于线性规划问题，但又有别于传统的线性规划问题，具有一定的新颖性和创造性，下面从特殊化、一般化和本质化给出问题的解答：

由cos∠AOB=OA·OB/|OA|·|OB|=1/2，得AOB∠=60°，故△OAB是边长为2的等边三角形，

视角1特殊化

华罗庚教授指出：“复杂的问题要善于‘退，足够地‘退，退到最原始而不失重要性的地方”，特殊化是“退”的重要策略，

视角2 一般化

你能用不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗？[5]

视角3 本质化

《标准》指出：“理解与高中数学关系密切的高等数学的内容，能够从更高的观点理解高中数学知识的本质，”“在日常的中学数学教学中，能够用高等数学的思想、观点、方法去解释和理解中学数学问题的例子很多，重要的是，作为一名数学教师应该具有这样的思维和意识.（张奠宙语）”从高等数学的角度来认识第9题的解答方法，

方法3 矩阵变换法

方法4 二重积分的变量代换法[7]

评注方法1将坐标特殊化，从线性规划的角度进行求解，是考生最容易想到的办法;方法2抓住试题的背景，给出了试题的一般解法，这对把握试题的本质有益;方法3、4从高等数学角度给出试题的解法，这对更高角度理解方法1、方法2有益，对深层次认识试题有利，对问题的推广有用.

4 问题拓展

波利亚指出：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做，[5]比如，问题的拓展，第9题可以从变式和推广两个方面展开.

4.1 试题变式

变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式，“依靠变式提升演练水准”是张奠宙先生指出的数学教学的四个特征之一，它不仅能有效制题海战术，而且能完善学生认知，帮助学生形成良好的的认知结构，陈景润先生指出“题有千变，贵在有根，”基于根一等和线定理，可以对第9题作出如下变式，

变式平面直角坐标系中，0是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|，OA=（x1，Y1），OB= （X2，Y2），则点集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R）表示区域的面积是2|x1Y2 - x2Y1|.

评注 第9题中条件|OA|=|OB|：OA·OB =2的功能是求△OAB的面积，事实上，由OA， OB的坐标即可确定△OAB的面积，于是可得上述变式，特别指出，变式中的|OA|=|OB|一条件可去掉，变式结论依然成立.

4.2 试题推广

数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真，[8]张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广，试题推广有利于完善学生认知结构，试题推广的方法有：增加元的个数、提升元的次数，数字字母化，结论一般化等[6]，第9题可以从多视角推广，如下：

视角1 条件中的常数一般化

视角2 平面问题空间化

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017

[2]蒋红珠，刘成龙.对一道向量最值问题的研究性学习[J].福建中学数学，2018 （2）： 14一18

[3]薛世林，刘成龙.2016年高考四川理科数学卷21题的多角度分析[J].福建中学数学，2017 （4）： 4-6

[4]余小芬，刘成龙.2017全国卷III数学理科12题的研究[J].中学数学研究（江西），2017 （11）：37-39

[5]波利亚.涂泓，冯承天译.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007

[6]余小芬，刘成龙.对2016年四川卷高考理科10题的研究[J].中学数学研究（江西），2016 （11）：12-16

[7]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2004

[8]郑隆昕.数学推广的类型与思想方法[J].武汉教育学院学报，1999，18 （3）：5-10