初中数学教材中的转化思想研究

胡晓飞 陈洁

【摘要】转化思想是初中数学中最基本的思想方法之一。教师挖掘人教版初中数学教材中四个领域知识中所体现的转化思想，把转化思想方法的教学融入各个知识领域和章节之中，让学生切实感受到转化思想的意义和作用。

【关键词】初中数学；转化思想；教材

【基金项目】云南省教育厅项目课题（项目编号：2015Y481）。

数学思想蕴涵在数学概念、公式和法则的形成和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。《义务教育数学课程标准（2011年版）》把数学的基本思想纳入课程的总目标，并要求教师在教学中引导学生独立思考，体会和运用数学思想与方法。

一、对转化思想的认识

转化思想，又称为化归思想，是把尚未解决或难以解决的问题，通过适当地变换逐步归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使原来的问题获得解答的数学思想。

事实上，初中数学每章、每节都离不开转化。在教学中，教师要充分尊重学生已有的知识经验，引导学生将要解决的新问题转化为已有的知识来解决，使学生在面临陌生问题时有意识地调动已有的知识和方法，在条件和结论之间形成一条推理链，在每一步推理中寻找条件和结论的联系，灵活运用等价变形，使思维过程向目标靠近，使解题过程柳暗花明。

二、转化的原则

转化的基本目的是把待解决的困难问题转化为易于解决的问题，为达到这一目的，我们就应该在熟知的理论知识基础上化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，化一般为特殊，从而使待解决的问题得到解决。运用转化思想时应遵循以下原则。

第一，数学化原则，即将与生活密切相关的实际问题转化为数学问题，再利用数学知识解决数学问题，从而使实际问题得以解决。

例如七年级上册“实际问题与一元一次方程”，就是将生活中的配套问题、工程问题、销售问题、电话计费问题、球赛积分问题，通过设未知数列方程，将实际问题转化为数学问题（一元一次方程），通过解方程获得了数学问题的解，从而解决了实际问题。再例如，想了解电子产品与中小学生视力的关系，城市的发展程度与空气质量的关系，人们的幸福满意度和生活质量的关系，都需要利用数学中统计的知识来解决。

第二，熟悉化原则，把陌生的问题转化为熟悉的问题。运用已有的知识、方法来解决问题，有利于培养学生的探索能力和创新意识。

例如，探索多边形的内角和公式，就是从三角形出发，把四边形、五边形通过添加辅助线转化为三角形，从而寻找规律归纳出n边形的内角和。再例如，二次根式的加减法，就是将相同的最简二次根式看作同类项，再合并同类项。

第三，简单化原则，把复杂的问题转化为简单的问题。通过对简单问题（一般考虑特殊情形）的解决，获得解题的启示和依据。

例如，函数中的动点问题，若自变量是时间t，就可以把要研究的运动问题转化为某一时刻的静止问题，从而获得因变量与自变量的关系。当然，在解决这类问题时还要考虑不同的时刻（点运动到不同位置）因变量与自变量的关系是否一致，若不一致则需要把所有可能出现的情形全部考虑到。再例如，在任意三角形、四边形中探究角或边的数量关系，可以先分析特殊情形（正三角形、正方形），先猜想出数量关系，再在一般情形中加以证明。

第四，直观化原则，将抽象的问题转化为比较直观的问题（借助于图形）来解决。数学的特点之一就是具有抽象性，学生理解起来非常困难，因此就需要将其转化成具体问题（利用图形的直观性），利于学生更好地分析。直观化是初中学生经常用到的，也是转化思想中最能够直观理解的原则。

三、转化思想在中学教材中的应用

初中学生面临的大部分数学问题都可以综合运用已有的知识来解决，或者转化成某种能够用已有的知识来解答的问题，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，所以说转化思想在初中教材中的应用非常广泛。

四、在教学中渗透思想方法的教学策略

（一）提问引导，感知转化

中小學的数学知识是环环相扣的，新知识的教学大多建立在学生已有的数学知识基础之上。教师应该在概念、公式、解法的教学过程中渗透转化的数学思想方法，通过问题引导，引发学生思考，使学生在尝试解决问题的过程中感知转化。

例如“有理数的减法”教学，教师首先创设温度情境，让学生解决温差。学生通过分析，得到算式8-（-3）=（ ），从而揭示课题“有理数的减法”。紧接着，教师提问：这个算式的结果是多少？应该如何计算呢？在教师的引导下，学生获得两种常用的解法。法一：利用减法是加法的逆运算，做减法想加法，提出新问题（ ）+（-3）=8，将有理数的减法问题转化为有理数的加法问题来解决。法二：利用温度计（图形），观察8与-3相差多少格？很容易观察到8格加上3格等于11。第一种方法运用了熟悉化的原则，将减法问题转化为已经学过的加法问题来解决；第二种方法运用了直观化原则，观察图形（温度计）即可。最后对解法进一步深化，8-（ -3）=11，8+3=11，让学生观察这两个算式及结果，发现并总结规律。最终学生获得有理数的减法可以转化为有理数的加法进行计算的结论。

（二）问题解决，加深转化

问题是数学的心脏，数学知识的掌握水平主要体现了学生解决问题的能力。

1.化抽象问题成直观问题。初中数学知识的抽象性随着年级的升高而逐渐增强，对学生的抽象思维能力要求也越来越高。部分数学问题借助直观图形可以降低题目的难度。比如函数问题，一元一次函数、反比例函数及一元二次函数，利用已知条件画出图形，再观察图形可以获得解题思路。特别是直线与函数图像相交问题、面积问题的求解，还有排列问题，运用树状图可以把可能出现的情况直观地表示出来。

例：小明家有4件不同的上衣，2条不同的裤子，3双不同的鞋子。小明要去上学，请问一共有几种不同的穿法？

分析：他的上衣有4种穿法，而裤子有2种穿法，而鞋子有3种穿法。经过计算可知一共有4×2×3=24种穿法。第二种算法，我们可以用A、B、C、D表示上衣，用E、F表示裤子，用G、H、L表示鞋子。用树状图表示出来如下。

通过数从上到下连线的条数，就能得出有24种穿法。运用法一可以节约时间，但是学生不容易理解，只知道这道题可以这样计算，题目稍作改变，就容易出错，不能灵活运用到其他的排列问题当中；法二虽然解题过程复杂，但是直观，易于学生理解，因此学生能将这种方法运用到排列的其他题型中。

2.化繁为简的策略。学生在解题过程中会遇到许多比较复杂的问题，直接解答会很困难，如果能够通过某种转化，将题目化为容易解答的数学问题，就能更好地解答。化繁为简的策略通常运用在代数式的求值中。

例1：计算代数式 的值，其中 .

分析：若直接把 代入式子计算，会增加计算量，也容易出错，所以这类问题应该先化简再代值.

解：化简原式得 .得到最简式.再把 代入 ，最后得出答案1.

例2：证明无论 取何值，方程 总有两个不相等的实数根.

分析：该题是关于一元二次方程的根的个数问题， 应先把方程化为标准方程，再利用判别式判断.

解：先化简方程，将方程化为一元二次方程的标准式 ，可以得到 ，再根据判别式 ，可知无论 为何值，总有两个不同的解.

教师要把转化思想方法的教学融于各个知识领域和章节之中，让学生切实感受到转化思想的意义和作用：在有理数、无理数和实数的概念形成过程中通过直观化原则渗透转化的数学思想；在定理、公式、解法的探究过程中深化转化思想；在分析、解决数学问题的过程中领悟转化思想。

【参考文献】

[1]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014：57-58.