加权复合算子在Dirichlet空间上的有界性

林庆泽

（广东工业大学应用数学学院，广东 广州 510520）

0 引言

当0＜p＜∞时，用Ap表示单位圆盘Δ上满足

Dirichlet空间D（p0＜p＜∞）为f'属于Bergman空间Ap的单位圆盘Δ上所有满足的解析函数f组成的空间.

容易验证，当1≤p＜∞时，Dp是一个Banach空间.记H（Δ）表示单位圆盘Δ上所有解析函数组成的函数空间.若φ，φ，f∈H（Δ）且φ（Δ）⊂Δ，则定义加权复合算子为

近年来，关于加权复合算子Wφ，φ作用在不同的函数空间上的研究是一个热门的研究课题.文献[1-2]得到了加权复合算子Wφ，φ作用在Hardy空间上有界性等性质.文献[3-4]给出了Wφ，φ作用在不同加权Bergman空间之间和不同Hardy空间之间的有界性和紧性等性质的刻画.另外，文献[5-7]还研究了加权复合算子Wφ，φ作用在Bloch型空间上的有界性、紧性和本性范数等性质.

关于加权复合算子的研究背景，最具代表性的成果是文献[8]证明了Hardy空间H1上的线性等距变换都是加权复合算子，紧接着Forelli在文献[9]中证明了当1≤p＜∞，p≠2时，在Hardy空间Hp空间上也有相同的结论.文献[10-11]证明了导数Hardy空间Sp和Dirichlet空间Dp上的线性等距变换也有类似的结论.在加权Bergman空间上，Kolaski在文献[12-13]上得到了线性等距变换可以表示为加权复合算子的相似结论.

对于加权复合算子Wφ，φ，如果令φ（z）＝z，便得到了乘法算子Mφ:fφf；如果φ≡1，则得到复合算子Cφ:ff φ.近几十年，这两种算子在不同的函数空间上的有界性和紧性等性质的研究也是一个热门的研究课题，可参考文献[14-16].而在导数Hardy空间Sp上的复合算子的研究则开始于Roan的文献[17].随后，MacCluer在文献[18]中用Carleson测度刻画了Sp空间上的复合算子的有界性和紧性.Contreras和Hernandez-Diaz[19]将导数Hardy空间Sp上的加权复合算子的有界性和紧性的研究转化为研究Hp空间上的加权复合算子的有界性和紧性.受文献[19]思路的启发，Kumar[20]利用Carleson测度[21]将Dirichlet空间Dp上的加权复合算子的有界性和紧性的研究转化为研究Ap空间上的加权复合算子的有界性和紧性.

受文献[22]的启发，当2＜q≤p＜∞时，本文给出了Dp空间中元素的基于有限零点的分解并得到了当φ是Δ上的共形满射时Dirichlet空间Dp到Dq上加权复合算子Wφ，φ的有界性的充要条件：Wφ，φ在Dp到Dq空间上是有界的当且仅当φ∈Dq.而作者与其他合作者关于加权复合算子Wφ，φ在导数Hardy空间Sp上的有界性的类似成果可参考文献[23].

1 加权复合算子Wφ，φ在Dirichlet空间Dp上的有界性

下面命题1的证明思路参考于文献[24-25]：

命题1若2＜p＜∞，则对于任意的f∈Dp，，从而Dp⊂H∞.

证明 若f∈Dp，则由定义f'∈Ap.由文献[26-27]我们有

因此，

从而，

证毕.

下面的引理可参考文献[27]：

引理1若φ是Δ上的解析函数且φ（Δ）⊂Δ，p＞0，则对于∀f∈Ap，都有

我们证明下面的命题.

命题2若2＜p＜∞，当φ是Δ上的共形满射，f，g∈Dp时，以下结论成立：

（1）φ'∈H∞；

（2）存在某个与p和 φ 有关的常数cp，φ＞0，使得；

证明（1）由复分析可知，φ是Δ上的共形满射当且仅当存在某个a∈Δ以及单位模复数 ，使得

从而

（2）由命题1，我们有

证毕.

由命题2中（3）可推出，若2＜p＜∞，则Dp对于函数的乘法运算构成一个Banach代数.

下面给出Dp空间中元素的基于有限零点的分解.

命题3若2＜p＜∞，f∈Dp，而ζ∈Δ是f的n阶零点，那么存在g∈Dp，使得g（ζ）≠0 且 f（z）＝（z－ζ）ng（z），z∈Δ.

证明 由 ζ∈Δ 是 f的 n阶零点，故存在 g∈H（Δ），使得 g（ζ）≠0且 f（z）＝（z－ζ）n·g（z），z∈Δ.下面证明 g∈Dp.

由于g∈H（Δ），上面不等式右边第一个积分必定有界，现只需考虑第二个积分的上界.命题证毕.

推论1若2＜p＜∞，f∈Dp，而ζ1，ζ2，…，ζn∈Δ是f的零点（可以相同），那么存在g∈Dp，使得g（ζ）i≠0，i＝1，2，…，n，且.

对于任意给定的z0∈Δ，若2＜p＜∞，由可知，线性泛函作用在D（p2＜p＜∞）空间上是有界的.下面的推论给出了线性泛函Ez0与算子Mz－z0作用在Dp空间上的联系.

推论2若2＜p＜∞，当线性泛函Ez0与算子Mz－z0作用在Dp空间上时，有：

证明 对于任意的f∈Ke（rEz0），由命题3，存在g∈Dp使得f（z）＝（z－z0）g（z），z∈Δ，即 f∈Ran（Mz－z0）.反过来则是显然的.证毕.

下面给出当φ是Δ上的共形满射时加权复合算子Wφ，φ在Dp空间上的有界性的充要条件.

定理1当2＜q≤p＜∞时，若φ，φ∈H（Δ），φ（Δ）⊂Δ，且φ是Δ上的共形满射，则加权复合算子Wφ，φ在Dp到Dq空间上是有界的当且仅当φ∈Dq.

证明 若Wφ，φ是有界的，则取f＝1，由

可知φ∈Dq.

现假设φ∈Dq，则由命题2，有

亦即Wφ，φ在Dp到Dq空间上是有界的.证毕.

当取φ（z）＝z，z∈Δ时，由定理1，我们得到了关于乘法算子Mφ在Dp到Dq空间上有界性的充分必要条件：

推论3当2＜q≤p＜∞时，若φ∈H（Δ），则乘法算子Mφ在Dp到Dq空间上是有界的当且仅当φ∈Dq.

注1文献[28]证明了当0＜q＜p＜∞时，若φ∈H（Δ），则乘法算子Mφ在Dp到Dq空间上是有界的当且仅当φ≡0.