椭球面的傅立叶限制性问题

范美玲

（汕头大学理学院，广东 汕头 515063）

0 引言

傅立叶限制性问题的研究一直是调和分析中的热点之一.1967年，E.M.Stein提出对于给定的Lp可积函数f，限制f的傅立叶变换ˆ到n－1维球面S上，则（A＜CB，其中C为常数，在此简记为，A≾B）成立当且仅当，这个问题后来被称之为限制性问题.Fefferman和Stein[1]证明了在n＝2时除端点之外的所有情况成立，Zygmund[2]在1974年给出了端点处的证明.Cordoba[3]在1977年用不同的方法证明二维的情形是成立的.对于高维情形，虽然已经得到了很多丰富的结果，但到目前为止它仍然未被解决，其中一个较好的结果是由Tomas和Stein[4]给出的，他们证明了当 q＝2 且成立.但是他们的证明充分利用L2空间的性质，对于一般的q，该方法不能推广，而这也是限制性问题困难所在.众所周知，傅立叶限制性问题，Kakeya极大函数问题和Bochner-Riesz求和问题等都是相互关联的，著名数学家Wolff，Bourgain，Fefferman，Tao等在这些问题的研究上取得了一系列进展（见文献[5]），与其相关的方法和技巧已经广泛应用于PDE，谱理论，数论等.本文是在他们研究的基础上进一步拓广傅立叶限制性问题的内容，我们限制f的傅立叶变换在椭球面上，给出椭球面上限制性问题对应的指标p，q所必须满足的条件，并证明二维是成立的.

1 定理的提出

1.1 预备知识

首先我们回顾经典球面上的限制性猜测，它具体描述如下：

针对该问题，一个非常自然的想法是将球面换成椭球面，相关的结论是否还成立，这也是本文的出发点.为方便叙述，本文均假定E为下面形式的椭球面，，相对应的面测度为dσ.那么本文的主要结论如1.2.

1.2 主要结论

在该定理的基础上，一个非常自然的想法是反过来是否成立，即下面的猜测.

猜测（椭球面的傅立叶限制性猜测）

它和球面限制性问题一样，对于高维情形，困难依然存在，但是我们可以给出二维的证明，这也是本文的第二个主要结论.

定理2（二维的椭球面限制性定理）

2 定理1的证明

为证明定理1，先给下面的引理.

证明：证明思路是构造函数f，使f的傅立叶变换集中在E′附近.

这样就完成了引理1的证明.

定义1：φ 是实值的 C∞（Rn）函数，a（x）是函数，定义是参数.

引理2[6]若 Ω⊂Rn是开集，φ（x）:Ω→R 是 C∞函数，p∈Ω 且 φ（p）≠0，a（x）支撑在p的一个小邻域内，则对任意N，

引理3[6]若Ω⊂Rn是开集，φ（x）:Ω→R是C∞函数，在p点的Hessian矩阵H（φP）可逆，令σ是H（φP）的正负符号差，且a（x）支撑在p的一个小邻域内，，则对于任意N，

这样就完成了定理1的证明.

3 定理2的证明

要证明定理2，我们需要下面的引理4.

引理4[8]分割圆S的弧间距和θ相互控制，若f和g支撑在S的不同θ弧上，则

首先，要证定理2成立，我们只需证明其对偶形式成立.即证明⇔p′＞4 且 p′≥3q.

事实上，我们可以进一步简化指标，即在条件p′＝3q＞4下成立即可.

首先注意到

我们先把在椭圆上的积分转化到圆上，详细过程见式（1）.

我们用Whitney分解方法[9]处理上述估计式，把圆周S平均分成2n等份，平分后所有圆弧的集合记作An.那么对任意n≥0，在n阶段分割后所得的任意圆弧在n＋1阶段都有两个子体.定义I～J:I，J不相邻，I，J∈An，但存在n，使得他们的母体相邻.那么它具有下面的性质：∀x≠y，∃，I～J，s.t x∈I，y∈J.从而，

其中dμI＝χ（Ix）dμ（x），dμJ＝χ（Jx）dμ（x）.故有