具有饱和发生率的营养液-植株模型的稳定性分析

杨俊仙，王雷宏

（安徽农业大学 a.理学院；b.林学与园林学院，安徽 合肥 230036）

营养液栽培是现代农业的重要组成部分，在一些发达国家已有普遍应用与发展，形成了成套的技术、完整的设备[1-2]。目前，随着科技的进步、社会的发展、学科的融合，营养液栽培技术得到了快速发展。在考虑经济成本的基础上，为了使营养液极大程度地促进植株存活与生长，对营养液管理的数字化控制成为人们关注的热点。他们在寻找各种对模型要求低、控制综合质量好、在线计算方便的优化控制算法[3-9]。其中文献[3-5]分别研究了营养液循环检测与控制系统、营养液自适应控制系统、多通道营养液在线检测系统，均是对营养液控制系统和检测系统的探讨。文献[7-9]分别通过各种算法，对营养液pH的调节控制过程进行了研究。利用营养液培养微生物的恒化器模型也取得不少成果，Wang讨论了具有营养液循环的脉冲注入恒化器模型，得到了系统正周期解的存在性和吸引性[10]。Sun等讨论了脉冲输入营养液的Monod模型，分析了系统灭绝和持久条件[11]。赵中等讨论了在污染环境下带时滞和脉冲输入两种营养液和一种微生物的恒化器模型，得到了微生物灭绝周期解全局吸引和系统持续生存条件[12]。

然而对营养液浓度-植物生长量之间的模型研究较少[13-14]，文献[13]讨论了基于投放营养液前后水培作物的生长变化规律，建立营养液投放周期模型，文献[14]讨论了具有双线性发生率的营养液对植株影响的数学模型：

其中：c(t)表示营养液浓度，x(t)表示植株生长量，r0表示营养液输入速率，r1表示植株生长的净增长率，α表示营养液自身的消耗率系数(0＜α＜1),N表示自然状态下植株生长的极限值，β,β1分别表示营养液的消耗率系数和植株的吸收率系数,各系数均为正。在未加入营养液之前，植株的生长过程是用Logistic模型来描述的，这类模型在研究种群增长及经济增长模型中经常使用[14]，但是用于描述和评价植物生长过程的文献并不多见[15-16]。文献[15]用Logistic模型来描述桉树的生长过程，结果表明，目前桉树人工林的现实生产力比较接近于桉树最大的生产潜能，可见，用Logistic模型来研究桉树人工林生长潜力是可行的。文献[16]研究了西藏巨柏播种苗的生长规律，该文中西藏巨柏播种苗年高生长过程也是用Logistic曲线方程来描述的，并通过线性回归模型表明，用Logistic模型描述苗高生长具有极高的拟合和相关程度，可以很好地预测生长期内苗高生长量，为制定科学合理的育苗技术提供依据。另外，文献[14]中营养液与植株相互作用的关系是通过双线性函数表述的，即植株吸收营养液后的生长量是按线性增长的，这显然对于某些植株而言存在一定的局限性。

本文建立了具有饱和发生率的营养液浓度-植株生长量的模型：

这里增加了参数m(m＞0)以体现植株的生长过程会受到一定的抑制，最终会达到饱和状态。其中变量c(t),x(t)和参数r0,r1,α,β,N与模型(1)具有相同的意义，假设营养液的消耗率系数与植株的吸收率系数相等。饱和发生率相对于双线性发生率更符合实际，而且可以选择合适的参数控制吸收率的无界性。

1 重要引理

引理1若c(0)＞0,x(0)＞0,则对任意t＞0，均有c(t)＞0,x(t)＞0。

证明由于

由比较原理得，

若c(0)＞0则对任意t＞0，均有c(t)＞0。

因此若x(0)＞0 ，则对任意t＞0,均有x(t)＞0。

引理2当t→+∞时，c(t),x(t)均有界。

证明对，由比较原理得，因此c(t)有界。

下证x(t)有界。

所以y(t)有界，通过比较原理得，x(t)有界。

不妨设c(t)≤M,x(t)≤M2,M1,M2均为正常数。

2 平衡点的存在性

本文在正向不变集上考虑模型(2)。

定理1系统(2)总存在零平衡点P0(c0,0)和正平衡点P*(c*,x*)。

证明显然系统有平衡点P0(c0,0)，其中。

当x≠0时，令

消去c整理得

下面考虑方程(3)的根

因此，方程(3)有一正根x*，即系统(2)有正平衡点P2(c*,x*)，且满足

3 平衡点的局部稳定性

定理2系统(2)的零平衡点P0(c0,0)不稳定，正平衡点P*(c*,x*)局部渐近稳定。

证明系统(2)的线性化近似系统在P0(c0,0)处的特征方程为：

显然方程(4)的两个解分别为：λ1=-α＜0,λ2=r1+βc0＞0，所以平衡点P0(c0,0)不稳定。

系统(2)在P*(c*,x*)处其对应的特征方程为

设λ1,λ2为方程(5)的两根，则有

所以，特征方程(5)的根均为负实根，从而平衡点P*(c*,x*)局部渐近稳定。

4 平衡点P*(c*,x*)的全局渐近稳定性

定理3系统(2)的正平衡点P*(c*,x*)全局渐近稳定。

证明构造李雅普诺夫函数

其中ω1,ω2满足ω1c*=ω2(1+mx*)，则

当且仅当c=c*,x=x*时，。此时平衡点P*(c*,x*)全局渐近稳定。

注定理2和定理3表明，加入营养液后，在该系统中营养液的浓度和植株的生长量最终均会达到一个恒定的值。

5 数值模拟

下面通过数值模拟验证定理2和定理3的结论。假设植株的生长量x(t)以kg为单位，营养液的浓度c(t)以mg/L为单位。当取初始值c0=0,x0=2，参数r1=20,N=5，即不加营养液时，植株的生长量可达到极限值N(见图1)。当取初始值c0=100,x0=1，参数r0=100，α=0.3,β=0.7，r1=20,m=0.01,N=5时，模型有稳定的平衡点（25.20,7.92）(见图2)。若改变初始值，取c0=50,x0=3，其它参数的取值同图2，此时平衡点仍为（25.20,7.92）(见图3)。经多次模拟得出的数据可得，平衡点与初值无关，并发现植株的生长量均达到7.92，超出了自然状态下的极限值5。若改变植株在自然状态下的最大生长量，取N=10，其它参数的取值同图2，系统的平衡点为（15.97,13.52），植株的生长量达到13.52，也超出了自然状态下的极限值10(见图4)。说明加入营养液后，植株的生长量确实得到了提高。

图1 不加营养液，取N=5，初值x0=2时，植株生长图

图2 取N=5，初值c0=100,x0=1时，营养液浓度-植株生长量的变化趋势图

图3 取N=5，初值c0=50,x0=3时,营养液浓度-植株生长量的变化趋势图

图4 取N=10，初值c0=100,x0=1时,营养液浓度-植株生长量的变化趋势图

6 小结

本文根据根据营养液浓度变化情况和植株生长的特点，建立了具有饱和发生率的营养液浓度与植株生长量的数学模型。通过分析，证明了正平衡点全局渐近稳定性。文中没有考虑条件x(t)≤N，也就是说，对植株注入营养液后，其生长量有可能会超过自然状态下的极限值N，数值模拟图也验证了这一点。另外，在模拟过程中显示，无论初始值如何，加入营养液后，营养液浓度和植株的生长量最终均会达到一个恒定的值，即正平衡点全局稳定，与理论结果相吻合，在营养液的管理控制方面具有指导作用。在以后的工作中，我们会进一步考虑加入时滞的情形，因为加入营养液后，植株并不是立刻吸收，而是需要一个过程。