浅析二次函数根的分布问题的学习

（怀化市湖天中学 湖南怀化 418000）

引言

二次函数是高中数学知识体系的有机组成部分，而二次函数根的分布问题是学习中的难点问题，困扰着很多同学。基于此，我们在学习高中数学的过程中，一定要注意探索二次函数根的分布规律，进而提高学习效率，提高数学成绩。所以，笔者针对《浅析二次函数根的分布问题的学习》一题的研究具有现实意义。[1]

例题1：“已知方程ax2-2x+1=0（a＞0）的两个根满足以下条件：其中较小的根小于1，而较大的根在1，3之间。问a的取值范围。”

解：令f（x）=ax2-2x+1（a＞0），根据已知条件其中较小的根大于1，而较大的根在1，3之间”可以得出f（1）＜0，f（3）＞0，进而可以得出a-1＜0，9a-5＞0，从而得出a的取值范围是a∈

分析与思考：该题目最关键的就是要是要找出“其中较小的根大于1，而较大的根在1，3之间”这一已知条件的充分必要条件，所以在解题的过程中可以利用数形结合的数学思想，首先画出“ax2-2x+1=0”的图像，然后观察图像。

例题2：“m是什么实数的时候，方程x2+2mx+2m+1=0在{x|-4＜x＜0}当中具有两个不等的实数根？”

解：令f（x）=x2+2mx+2m+1=0，根据题意可知得出：

分析与思考：二次函数根的分布问题是可以分为两大类的：（1）两个根分布在统一区间之上的时候，那么在解题的过程中只需要考虑区间端点对应的函数符号就可以了；（2）如果两根分布在不同的区间上的时候，就需要考虑三个方面的问题，即Δ的符号、区间端点对应的函数值的符号以及对称轴的范围。但是需要注意的是，并不是全部而是函数根的分布问题都必须利用该种方法进行解答，在解题的过程中只需要找出函数根分布的其中一个充分必要条件就可以了。

例3：“如果方程x2-mx-m+3=0具有两个根，且两个根满足以下条件：其中一个根处于0和1之间，另一个根在1和2之间，问m的集合。”

解：根据题目中所给出的已知条件，可以得出：

f（0）f（1）＜0，

f（1）f（2）＜0，

（3-m）（4-2m）＜0，

（4-2m）（7-3m）＜0，

可得出2＜m＜7/3。

证明：根据题意可知：f（x）-x=a（x-X1）·（x-X2）

∵0＜x＜X1＜X2＜1/a

∴a（x-X1）（x-X2）＞0

∴当x∈（0，X1）的时候，有f（x）＞x。

又f（x）-X1=a（x-X1）（x-X2）+x-X1=（x-X1）（ax-ax2+1），x-X1＜0

且ax-ax2+1＞1-aX2＞0，

∴f（x）＜X1。

分析与思考：在已知方程f（x）-x=0有来两个根的时候，根据题目当中所给出的函数与方程之间的关系，就可以得出f（x）-x的表达式，进而也就可以得出函数f（x）的表达式，之后就可以开展证明。

例题5：“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a＞0），设函数f（x）=x的两个根分别为X1、X2。问题1：如果已知X1＜2＜X2＜4，设f（x）的对称轴是x=x0，证明x0＞-1.问题2：如果|X1|＜2，|X2-X1|=2，那么b的取值范围是什么样的？”

解：设g（x）=ax2+（b-1）·x+1，那么就有g（x）=0的两个根是X1、X2。

（1）由于a＞0且X1＜2＜X2＜4，可知4a+2b-1＜0，16a+4b-3＞0，从而得出3+3·将两式相加可以得出b/2a＜1，从而证得x0＞-1。

（2）由（X1-X2）2=（b-1/a）2-4/a，可以得出

又X1X2=1/a＞0，所以可以得出X1、X2属于同号；

与X2＜-2＜X1＜0，是等价关系；

与g（-2）＞0，g（0）＞0是等价关系。

最终解得：b＜1/4或者b＞4/7.

分析与思考：在题目当中所给出的已知条件X1＜2＜X2＜4实际上已经给出了函数f（x）=x两个实数根的区间，所以在解答问题的过程中，可以利用函数的图像特征进行等价转换。

结论与反思：

上述5道例题分别代表了高中二次函数根的分布问题的几种典型题型，希望笔者的思考分析与解答可以为同学们的学习带去一定的帮助。但是需要注意的是，在学习的过程中，单纯掌握解题技巧是不够的，“万丈高楼平地起”，我们依然要坚信只有在学习基础知识的过程中将基础打牢，在平时的练习中注意积累与总结，才能在解答问题的时候得心应手，提高解题的效率。同时，由于笔者的学识有限，在讨论分析问题的过程中难免会有妄自菲薄与不够深入之处，还望老师与同学给予建议，进而实现共同进步。