核磁共振陀螺原子核自旋进动的建模与仿真

陈晓格，舒 强，朱明智，汪宝旭

(中国工程物理研究院总体工程研究所，绵阳621999)

0 引言

核磁共振陀螺以原子核自旋磁矩的Larmor进动为参考基准,通过检测激光测量陀螺载体相对惯性空间转动引起的Larmor进动频率或相位改变,来获取载体的转动角速率或角位移。核磁共振陀螺不包含运动部件,对加速度不敏感,同时具有高精度、小体积、低功耗的优点,是新一代陀螺技术的典型代表[1]。

1952年,美国通用电气公司提出利用核自旋角动量的定轴性研制原子自旋陀螺仪。此后,美国Litton公司、Singer-Kearfott公司、Northrop Grumman公司、斯坦福大学、加州大学等开展了相关研究工作[2-3]。2004年,美国Northrop Grumman公司基于Litton公司的原理样机开始了微型导航级核磁共振陀螺的研制,并于2013年研制出了体积为10cm3、角度随机游走为 0.001(°)/h1/2、零偏稳定性为0.02(°)/h的核磁共振陀螺[4]。

在国内,据报道,已有研究单位成功研制了微型核磁共振陀螺原理样机,其他研究单位的成果主要集中于核磁共振陀螺的原理验证、方案设计、关键部件研制阶段[5-9],与国外相比还有明显的差距。

本文以基于87Rb-129Xe的核磁共振陀螺为例,通过对陀螺惰性气体原子核自旋进动力学方程的分析,从相位控制的角度讨论了横向激励磁场的幅值和相位对惰性气体原子宏观磁矩Larmor进动的影响。建立了宏观磁矩进动的动力学模型,并进行了仿真,实现了宏观磁矩进动的稳态自激振荡,以及陀螺转动角位移信号的提取、解卷绕处理。

1 核磁共振陀螺的工作原理

核磁共振陀螺的工作原理如图1所示[10]。

惰性气体原子具有自旋核磁矩,在外加恒定磁场中会围绕外磁场进行Larmor进动,进动频率为:

式中,γ为原子核旋磁比,B0为恒定磁场强度。

在自然状态下,核磁矩的指向杂乱无章,各原子核磁矩相互抵消。采用z轴方向的圆偏振泵浦光通过光子角动量的传递极化碱金属原子,通过碱金属原子与惰性气体间的自旋交换作用极化惰性气体原子,使得惰性气体原子在z轴方向获得宏观磁化强度M,即宏观磁矩。在x轴方向施加振荡频率为惰性气体Larmor进动频率的横向激励磁场B1cos(ω0t),使得宏观磁矩M偏离纵向恒定磁场B0,在xy平面内出现横向分量M⊥,并绕z轴方向以Larmor频率进行进动。采用固联在陀螺载体上的检测激光测量宏观磁矩水平分量M⊥, 当陀螺相对惯性空间以角速率ωr绕z轴转动时,检测激光测得的进动频率ω既包含M⊥的进动频率ω0, 又包含陀螺转动角速率ωr, 并且满足:

在式中,当陀螺转动方向与M⊥进动方向一致时,ωr取正值,反之取负值,从而实现载体转动角速率的测量。

同理,探测光检测的进动相位φ也包含M⊥的进动相位φ0和陀螺转动角位移α, 且满足:

通过对探测光检测信号进行处理,即可获取陀螺转动角位移信息,进而实现载体转动角位移的测量。

2 核磁共振动力学分析

2.1 横向激励磁场对129Xe原子自旋进动的影响

从宏观层面,Bloch方程可以很好地描述宏观磁矩M和磁场的相互作用。考虑光泵浦极化碱金属原子与惰性气体原子之间的自旋交换极化作用、原子与气室壁的碰撞,以及由磁场梯度等因素引起的宏观磁矩的弛豫,惰性气体原子自旋进动的Bloch方程可表示为[11]:

假设在z轴方向施加恒定磁场B0,在x轴方向施加横向激励磁场B1cos(φ－β)。其中,B1为横向激励磁场的强度,φ为M⊥在xy平面的进动相位,β为激励磁场相对于核自旋进动在x轴方向的相位滞后,磁场向量B可表示为:

横向激励磁场Bx可以等效为2个以z轴为旋转轴且旋转方向相反的圆偏振场的叠加,左旋圆偏振场如式(7)所示,右旋圆偏振场如式(8)所示。

其x分量叠加得到沿x轴方向的激励磁场,而y分量相互抵消,如式(9)所示。

对于原子核自旋进动而言,当圆偏振场旋转方向与原子核自旋进动方向相反时,原子核的自旋磁矩不受影响,只有与原子核进动方向相同的圆偏振场才能引起原子核自旋磁矩的能量吸收,形成宏观意义上的核磁共振。假设宏观磁矩M绕z轴沿逆时针方向进行Larmor进动,此时仅考虑Bx的右旋偏转场,磁场向量B可等效为:

为简化式(5),宏观磁矩水平分量M⊥用相量形式表示:

即:

式中,M⊥为M⊥的模值,ω为M⊥的进动频率。将式(11)、式(12)代入式(5)并分离实部和虚部,可得关于宏观磁矩纵向分量Mz、水平分量M⊥的模值M⊥以及相位φ的微分方程,如式(13)所示。

将式(10)代入式(13),可进一步化简为:

可得M⊥和Mz的稳态解:

由式(15)可知,在激励磁场Bx与宏观磁矩x轴分量Mx进动的相位差β恒定的前提下,原子核自旋宏观磁矩进动达到稳态时,M的纵向分量Mz和水平分量模值M⊥不随宏观磁矩的进动而改变,即M偏离z轴向xy平面倾斜了一个固定角度θ,满足:

将式(15)代入式(14)可得:

式中,ω为宏观磁矩M的Larmor进动频率；等号右侧第1项(－γB0)为核磁矩在恒定磁场B0中的进动频率,负号意味着当原子核自旋旋磁比γ＞0时,核自旋在磁场中的进动方向为绕z轴顺时针方向,γ＜0时核自旋绕z轴逆时针方向进动；等号右侧第2项(Γ2cotβ)为由激励磁场相位滞后β引发的宏观磁矩进动频率的失谐量。由式(15)可知,通过控制激励磁场的相位使β锁定在π/2,即可消除Γ2cotβ项。此时,Bx可表示为 :

对比式(12)可知,使激励磁场Bx与宏观磁矩y轴分量My的相位保持一致,陀螺中工作介质原子宏观磁矩的Larmor进动频率将仅依赖于恒定磁场B0。β＝π／2时,将式(17)两侧对时间t进行积分,可得M⊥的进动相位:

式(15)可化简为:

对于宏观磁矩水平分量M⊥而言,在陀螺工作介质惰性气体的同位素确定的情况下,旋磁比γ、弛豫率Г1及Г2均为常量,只有超极化率Rse、激励磁场幅度B1影响其幅值。Rse对M⊥的影响是线性的,超级化率越高,信号强度越大；B1对M⊥的影响是非线性的,其值过大或过小都会导致M⊥信号强度减小。当激励磁场幅值B1满足时,宏观磁矩水平分量模值M⊥取最大值。此时,宏观磁矩水平分量的进动信号最强,更容易被检测到。

2.2 陀螺转动对129Xe原子自旋进动的影响

以上对陀螺相对惯性空间不转动时的核磁共振动力学模型进行了分析。当陀螺随载体以角速率ωr绕z轴转动时,相对于陀螺载体可等效于在z轴方向施加了磁场ωr／γ[12],z轴方向上的磁场等效于:

将式(22)代入式(4),可得陀螺转动时原子自旋进动的动力学模型:

当陀螺随载体转动时,横向激励磁场与惰性气体原子宏观磁矩水平分量M⊥相对载体系的相位关系将发生改变,即重新产生一个随载体转动而变化的相位差β。由2.1的分析可知,宏观磁矩M与z轴的相对角度将发生变化,M⊥和Mz不再保持恒定状态,M在绕z轴进动的同时也在z轴和xy平面之间波动,即宏观磁矩出现了章动,直至达到新的平衡状态。在这种情况下,很难利用宏观磁矩水平分量的Larmor进动信号来获取载体的转动信息。为了维持原子核自旋进动稳定的核磁共振状态,可以采取反馈控制方案,实时锁定激励磁场与惰性气体原子核自旋进动的相位关系。假设陀螺随载体系绕z轴逆时针转动的角度为α,此时Bx的相位应滞后相等的角度,即等效旋转磁场顺时针转动α角度,才能保持激励磁场与宏观磁矩水平分量的相位关系,使β＝π/2,激励磁场应满足:

激励磁场与宏观磁矩进动的相位关系锁定后,将式(22)代入式(18)、式(19)替换B0,可得载体系检测光测得的M⊥的进动频率ω和φ,满足:

式中,α＝∫ωrdt为陀螺相对惯性系的转动角位移,φ0＝－γB0t为M⊥相对惯性系的进动相位。

由式(25)可知,陀螺中工作介质原子宏观磁矩水平分量M⊥的进动相位/频率受陀螺转动角位移/角速率的线性调制。通过对宏观磁矩水平分量进动信号进行检测,在检测信号中减去宏观磁矩水平分量相对惯性系的进动相位/频率,即可分离出陀螺的转动角位移/角速率,实现载体转动信息的测量。

3 Simulink建模与仿真分析

3.1 仿真模型的建立

根据2.2动力学模型,建立了核磁共振陀螺原子自旋进动的Simulink仿真模型。模型封装如图2所示,输入接口分别为x、y、z方向的磁场Bx、By、Bz,以及模拟陀螺转动的角位移信号α；输出接口分别为x、y、z方向的宏观磁矩分量Mx、My、Mz。

实现核磁共振陀螺横向激励磁场的闭环控制需要提取检测激光中包含的宏观磁矩水平分量进动相位信息作为反馈信号,从仿真角度,直接采用宏观磁矩进动信号y轴分量My进行相位反馈,可以验证稳态核磁共振的条件。由2.2分析可知,宏观磁矩水平分量的进动相位受陀螺转动角位移的线性调制。对于相位调制信号,可以采用锁相解调技术分离调制信号,但就核磁共振模型而言,其输出信号包含核自旋进动信号的同相分量Mx和正交分量My,因而采用复信号解调方法构造相位比较器,可以简单、快速地从自旋进动信号中分离陀螺角位移信号。激励磁场反馈控制原理框图如图2所示,主要包括129Xe原子自旋进动模型、激励磁场反馈控制模块、相位比较器、相位解卷绕模块。

磁场反馈控制模块使激励磁场瞬时相位实时跟随My进动相位,实现了陀螺载体系转动时工作介质原子宏观磁矩的稳态进动。

相位比较器用于比较M⊥相对载体系的进动相位与参考信号瞬时相位的相位差,参考信号瞬时相位等于宏观磁矩相对惯性坐标系的进动相位。对参考信号相移90°构造复信号,与以Mx为实部、My为虚部构造的复信号相乘,并对得到的以α为相角的复信号进行相角提取,即可得到陀螺转动角位移。

相位比较器输出的角位移幅度范围为－π～＋π,当实际信号幅度｜α｜＞π时,角位移将在α＝＋π或α＝－π处发生跳变,即出现了相位卷绕。通过解卷绕处理,即可得到反映真实角位移变化的相位信号。

3.2 仿真结果和分析

本文中,陀螺工作介质惰性气体为氙的同位素129Xe。129Xe的弛豫时间受原子气室体积、气室壁抗弛豫镀膜材料、气室磁场梯度、缓冲气体原子密度等因素影响,其值通常为10s量级。诺格公司[13]已实现在2mm3气室中的弛豫时间大于26s,在1mm3气室中的弛豫时间大于22s；加州大学欧文分校[14]在微型气室中实现了7.5s的弛豫时间。鉴于取值将直接影响宏观磁矩进动达到稳态的时间,且不影响模型对其他参数的分析,为缩短仿真时间,假定横向弛豫时间和纵向弛豫时间相等,均取1s,则弛豫率Г1＝Г2＝1。 旋磁比为γ＝－2π×11.86Hz/μT。外加恒定磁场B0的幅度通常为0.1G～10G[15]。仿真时采用Litton公司[16]的专利数据,取B0为11.4μT。横向激励磁场幅度根据K⊥达到最大值的条件取 0.026μT, 振荡频率等于129Xe原子的Larmor进动频率135.2Hz。根据2.1的分析,Rse的取值仅影响宏观磁矩的稳态幅值,与信号的性质无关,取Rse＝1。 仿真求解器选择ode45,仿真步长为0.0001s,陀螺载体系不转动时为10s,转动时为12s。

图3为陀螺载体系不转动时,129Xe原子宏观磁矩自旋进动的时域响应。由于激励磁场幅值较小,为便于观察,在图3(d)中取10Bx。 可以看出,129Xe宏观磁矩在外加磁场、87Rb超极化及弛豫因素的综合作用下,在x、y、z方向的分量经过一定时间的建立过程最终达到稳定状态,Mx、My的稳态幅度0.5与仿真参数代入式(21)的理论值吻合。同时可以发现,Mx、My以Larmor进动频率进行进动且相位相差90°,My始终与Bx保持同相。

图4为陀螺载体系不转动时,不同激励磁场幅值B1对x向宏观磁矩分量Mx的影响。由图4可知,磁场幅度过大或过小都将导致Mx稳态幅值减小。当B1取时,M幅度最大。此外,Mxx越小,宏观磁矩建立稳态进动的过程越平稳,但响应速度较慢；随着B1的增大,Mx建立稳态进动过程的振荡更加激烈,但响应速度较快。

图5为模拟陀螺载体系从仿真时间8s开始,在宏观磁矩已建立稳态进动的情况下,以1rad/s匀速转动时Mx的时域响应及模型输出的角位移信号。图5(a)为未对激励磁场施加反馈控制的情况,可以看出,当载体系开始转动时,Mx的稳定进动状态被破坏,仿真模型输出的角位移不能反映载体系的角运动状态。图5(b)为施加了激励磁场反馈控制的情况,显然,对横向激励磁场的闭环控制,保证了宏观磁矩的稳定进动,仿真输出角位移与实际角位移吻合程度较理想。

图6为载体系模拟角位移信号分别为4sin(100πt)和4sin(10πt2)时的仿真输出结果。 由图6可知,模型可以很好地跟踪陀螺载体系的非匀速角运动状态。

4 结论

通过对核磁共振陀螺核自旋进动的建模、分析和仿真验证,得出维持陀螺惰性气体原子宏观磁矩稳态Larmor进动的条件是保持激励磁场相位与宏观磁矩y向分量进动相位一致；激励磁场的幅值对宏观磁矩稳态进动的建立时间和稳态幅值有直接影响,

在选取激励磁场时应进行综合考虑；建立的反馈控制方案可以很好地实现对陀螺载体坐标系角运动状态的跟踪。通过修改参数,该模型可适用于其他工作介质的核磁共振陀螺仿真,对于核磁共振陀螺的方案设计、相关参数选取、陀螺转动信号提取方案设计等具有一定的参考意义。