数学思维及其培养

吴桂星

【摘要】数学思维是分析与解决数学问题的重要思维品质，其内涵丰富且形式灵活.几种常见的数学思维培养途径为：提供联想训练，促进学生的联想思维；引导类化分析，启迪学生的类化思维；渗透数形方法，发展学生的数形思维；引导概括描述，培养学生的抽象思维.

【关键词】数学思维；联想思维；类化思维；数形思维；抽象思维

数学思维，指人们依据数学思想或数学方法去认知数学事物或解决数学问题的心理活动.如对于“2，4，6，…”等偶数的认知，如果能抓住“能被2整除”这个特征，那么人们的思维活动就是由形式到本质的抽象过程，如果又能用“2n”来表示偶数的通用形式，那么就体现了人们由特殊到一般的概括过程.再如，对于分数的除法，如果转化为分数的乘法来进行运算，那么就体现了人们解决问题中的逆向思维.数学思维是分析与解决数学问题的重要思维品质，其内涵丰富且形式灵活，难以胜数.本文就几种常见的数学思维，从小学数学教学的角度，谈谈其培养途径或方法.

一、提供联想训练，促进学生的联想思维

教学中要促进学生的联想思维，关键在于教师提供让学生开展丰富联想的教学平台.如，“比”课题，教材是以国旗的长宽特征和“神舟五号”的轨道长度和运行周期这两个问题来引导学生建立“比”的概念.当然，这种教学简明扼要，有助于学生对“比”这种数学问题的认识，但对于促进学生充分感知“比是反映生活事物在数量比值方面具有某种特征”的内涵，还是有所不足.为此，教师就可以提出如下问题来引导学生联想：“在你所观察到的事物中，你发现哪些事物在数量比值方面有着特定的关系？”如果学生能说出“人越高腿越长”“田亩越大秧苗越多”“楼层越多房子就越高”等生活事物，那么他对“比”的内涵就有着一定的深刻性：“比”是反映生活事物在数量方面遵循着某种规律.对于不遵循某种规律的事物，就不能用“比”的形式来描述.

联想是一种最基本但又是最重要的思维形式，其思维活跃度和深刻度，不仅影响着人们对事物的认知，更影响着人们的创造或发明.

二、引导类化分析，启迪学生的类化思维

类化思维，指分析或概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入原有的同类知识结构中去，对问题加以解决的思维活动.如探究任意三角形面积计算问题，它可以用两个相同的三角形拼接为一个平行四边形，然后依据平行四边形的面积公式来推出三角形面积公式.也可以把一个任意三角形分割后拼接为一个长方形，然后依据长方形的面积公式来推出三角形面积.可见，类化思维活动的重要环节在于把新问题或新情境转化为已知问题或已知情境来处理的思维过程.类化思维，从其实质来说，它是一种化繁为简或化难为易的思维方法，至于具体如何转化，又取决于人们的类化思想和类化智慧，而这种类化思想和类化智慧，既依赖于人们的知识与文化底蕴，更取决于人们的思维活力，而引导类化分析则是诱发学生思维活力进而形成类化思维的有效途径.

引导类化分析，指教师在教学中引导学生如何将新问题转化为已知的问题来分析的教学活动.在探究“圆的面积”活动中，学生在“圆的周长”课题学习中已经知道可以用实验的方法来研究周长于半径的关系，教师只要提示“圆的周长公式是怎样得到的”，学生自然会想到实验方法.当然，圆的周长可以直接测定，而圆的面积则不能直接测定，实验的思路必须要将圆的面积转化为已知图形的面积，从而间接测定圆的面积.诚然，这是实验设计的难点，类化思维的目的就是要化难为易.如果学生能想到把同一批绿豆先后铺放在圆形纸中和方格纸中，然后由计算方格纸面积来确定圆的面积，那么这何以不是创造性的学习！其中由方格纸面积替代圆面积就是一种类化思想，而选择绿豆紧密且不重叠的铺放则是一种类化智慧.再如，在圆面积公式论证中，教师如果提出“能否把圆形分割成与三角形相似的图形”“两者的差异在哪里”“分割的三角形越小两者的差异会发生怎样的变化”等问题，那么就可能促使学生形成“把圆形转化为无数个小三角形，并通过求算这无数个小三角形面积之和来得到圆面积公式”的类化思维.

类化思维是探究并解决新问题的一种重要的思维方法，它不仅涉及学生当前的课程学习，而且影响着学生的再学习乃至未来的社会实践.

三、渗透数形方法，发展学生的数形思维

数量和图形是数学中两个最基本的问题，图形中蕴含着数量，而数量又可以表征为一定的图形.所谓数形方法，指用数量和图形结合的方式来描述或分析数学问题的方法.数形思维，指结合数量和图形来认识或解决数学问题的思维活动.数学思维主要体现在两方面：一是“以数解形”，即对几何图形问题用代数方法来处理，以达到解决问题的定量化或精准性；二是“以形助数”，指把代数问题用某种图形来进行直观性地描绘，以促进人们的理解.

教学中渗透数形方法，就是指引导学生用数形方法来认识或解决问题，或“以数解形”，或“以形助数”.如探究“三角形面积”计算，教学中就可以在方格纸中画一个顶点都在方格纸交点的一个三角形，引导学生观察与比较，同时启发学生通过累积方格子个数的办法来确定三角形的面积.在此基础上提出如下问题以引导学生开展探究性学习：① 若三角形高度不变，底边增大，三角形面积如何变化？② 若三角形底边不变，高度增大，三角形面积又如，何变化？③ 用底边与高围成的长方形，其中包含的方格子个数有多少？④ 三角形所占方格子个数与长方形所占的方格子个数具有怎样的数量关系？⑤ 你有什么发现？三角形的面积大小由什么因素决定？通过上面的探究性学习活动，学生就可能归纳出计算三角形的面积公式.

四、引导概括描述，培养学生的抽象思维

抽象思维，指人们在认识活动中，运用概念、判断、推理等思维形式，对客观事物进行间接的、概括的反映过程.形象思维是对一个个具体事物进行直观性的描绘，而抽象思维则是追究不同形式事物的本质属性或共同特征.形象思维是抽象思维的基础，抽象思維则是形象思维的发展，离开了形象思维，抽象思维就失去了它的根基.因此，要培养学生的抽象思维，首先在教学中要提供具体丰富的问题素材让学生感知，从而建立一个个具体鲜明的事物表象.其次是引导学生对一个个具体事物进行分析与比较，或归纳其本质属性，或概括其共同特征.其三是要求学生运用概念或学科语言来描述事物的本质属性或共同特征，从而上升到理性认识.第一个认知环节属于形象思维过程，后两个环节的认知则属于抽象思维过程.

如，“圆的认识”课题，教学中首先可以通过多媒体提供诸如太阳、足球、盘子、车轮等一个个具有圆形特点物体让学生观察或审视，接着可以让学生尝试用圆规画出一个个大小不同的圆，然后再引导学生分析并比较圆周上任意一点到圆心的距离，最后要求学生用自己的语言来描述圆的概念.其中对圆形物体的观察和画圆活动都是促进学生的形象思维以建立圆的表象，而分析比较圆心到圆周的距离以及描述圆的概念就属于抽象思维.然而在实际的教学中，多数教师仅重视观察、画圆、比较半径的教学，而对于圆概念的描述则往往不做要求.诚然，由于小学生对概念理解能力的欠缺，教材没有给出圆的概念，但作为培养小学生由形象思维过渡到抽象思维的发展角度而言，可谓是一种教学失误.对于圆概念的描述，虽然小学生难以做到逻辑严密，内涵正确，语言精练，但他们还是能说出大致的内涵，而且在用自己的语言描述圆概念的过程中，学生自然会考究圆的性质或特征，其中的考究过程就是抽象思维过程.如果不让学生去说，则失去了训练学生抽象思维的机会.为什么绝大多数学生甚至包括高中生，都不能用自己的语言来准确地描述数学概念，其根本原因就是缺乏应有的抽象思维训练.

数学思维是一种复杂的思维活动过程，联想思维中可能包含着比较思维，比较思维中又可能孕育着类化思维，其中既可能体现为图形或表象的形象思维形式，也可能体现为概括或归纳的抽象思维活动.本文分类阐述，仅是方便读者理解.然而在实际的教学中，还是应以问题为主线，以问题促思维，让学生的数学思维能力在一种自然的教学环境中得以发展.

【参考文献】

[1]蒋志萍，汪文贤，著.数学思维方法[J].杭州：浙江大学出版社，2011.