聚焦圆系方程在解题中的应用

■罗文军

具有某种共同性质的圆的集合叫作圆系，它的方程叫作圆系方程。在解圆的有关问题时，利用圆系知识来求解，往往简洁明快，事半功倍。本文巧用圆系方程解决了一些与圆有关的题目，令人耳目一新，现介绍如下，以供参考。

一、过直线与圆交点的圆系方程

经过直线l∶Ax+By+C=0与圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，当λ=0时表示圆C。

例1求经过直线x+2y-1=0与圆x2+y2+2x+8y-8=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程。

设所求圆的方程为x2+y2+2x+8y-8+λ(x+2y-1)=0，即x2+y2+(2+λ)x+(8+2λ)y-8-λ=0。令y=0，得x2+(2+λ)x-8-λ=0，所以圆在x轴上的两个截距之和为-2-λ。令x=0，得y2+(8+2λ)y-8-λ=0，所以圆在y轴上的两个截距之和为-8-2λ。由题意得-2-λ-8-2λ=8，解得λ=-6。故所求圆的方程为x2+y2-4x-4y-2=0。

评注:利用圆系方程求解，突出了过交点的圆随λ变化而变化的动态过程，并且大大简化了烦琐的计算过程。

变式训练1：求经过直线l∶2x+y+4=0与圆C∶x2+y2+2x-4y+1=0的两个交点且面积最小的圆的方程。

二、过圆与圆的交点的圆系方程

经过圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1＞0)与圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2＞0)的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0。

例2求经过点M(2，-2)及圆∶x2+y2-6x=0与圆∶x2+y2=4交点的圆的方程。

设所求圆的方程为x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-6x-4λ=0，将点M(2，-2)代入上式，得4(1+λ)+4(1+λ)-12-4λ=0，解得λ=1，故所求圆的方程为x2+y2-3x-2=0。

评注:先利用经过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，再利用待定系数法求解。

变式训练2：已知圆C1∶x2+y2=4，圆C2∶x2+y2-2x-4y+4=0，直线l∶x+2y=0，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程。

三、半径相等的圆系方程

半径相等的圆系方程为(x-a)2+(yb)2=r2，其中r为常数，a，b为参数。

例3已知圆C与直线y=x+5和y=x-7均相切，且过点(2，1)，则圆C的方程为

评注:先由两点间的距离公式计算出两平行线间的距离，从而得出圆的直径;再得出所求圆心的轨迹方程;最后设出所求圆的标准方程，根据待定系数法求解。

变式训练3：已知圆C与直线y=x-均相切，且过点则圆C的方程为

四、同心圆系方程

与圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F1=0。

例4求与圆x2+y2-4x+6y-3=0同心，且过点(-1，1)的圆的方程。

设所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+m=0，将点(-1，1)代入上述方程，可得m=-12。故所求圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0。

评注:先设出与已知圆同心的圆的方程，再代入所求圆上一点的坐标，求出其中的参数值即可得到所求圆的方程。

变式训练4：求与圆x2+y2-2x+10y+25=0同心，且过点(2，2)的圆的方程。

五、过给定两点的圆系方程

经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的圆系方程为(x-x1)(x-x2)+

例5求经过点A(4，2)，B(-1，3)且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程。设所求圆的方程为(x-4)(x+1)+(y-2)(y-3)+0。令y=0，整理可得5x2-(15+λ)x+10+14λ=0，此时圆在x轴上的截距之和为x1+。令x=0，整理可得5y2-5(5+λ)y+10+14λ=0，此时圆在y轴上的截距之和为y1+y2=5+λ。由题设可知x1+x2+y1+y2=，解得λ=-5。故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0。

评注:先根据经过给定两点的圆系方程设出所求圆的方程，再根据韦达定理分别计算横轴上的截距之和与纵轴上的截距之和，计算出参数λ的值，从而得出所求圆的方程。

变式训练5：求经过A(3，6)，B(2，5)两点，且与直线4x-3y+6=0相切的圆的方程。

六、过已知直线与圆或圆与圆切点的圆系方程

经过圆C与圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D21+E21-4F1＞0)的切点N(x0，y0)的圆系方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+D1x+E1y+F1)=0。经过圆C与直线l∶Ax+By+C=0的切点N(x0，y0)的圆系方程为 (x-x0)2+(yy0)2+λ(Ax+By+C)=0。

例6一圆与直线3x+4y+5=0相切于点(1，-2)，且过点(4，7)，求该圆的方程。

过切点(1，-2)的圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=0。设过直线3x+4y+5=0和点(1，-2)的圆系方程为(x-1)2+(y+2)2+λ(3x+4y+5)=0，将点(4，7)代入上述方程，解得λ=-2。故所求圆的方程为x2+y2-8x-4y-5=0。

评注:切点(1，-2)可以看成半径为0的圆(即点圆)，直线3x+4y+5=0可看成通过该圆的直线，基于这种极端的想法，此题可以跳出设圆的方程的一般方法，利用圆系方程求解，更简单便捷。

变式训练6：求经过点M(3，-1)且与圆C∶x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1，2)的圆的方程。

变式训练参考答案

1.提示∶设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0。该圆的半径为，所以当时，半径r最小，即此圆的面积最小。将代入圆系方程，得所求圆的方程为

2.提示∶设所求圆的方程为x2+y2-2x-4y+4+λ(x2+y2-4)=0，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0，其圆心坐标为半 径 为，依 题意可得解 得λ=1(λ=-1不合题意，舍去)。故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0。

4.提示∶设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y+m=0，因为所求圆过点(2，2)，故将此点坐标代入上述方程，可得m=-24。故所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24=0。

5.提示∶设所求圆的方程为(x-3)(x-2)+(y-6)(y-5)+整理可得x2+y2-(λ+5)x+(λ-11)y+36-3λ=0，可知圆心坐标为半径为由点到直线的距离公式可得整理得(λ+7)2=0，解得λ=-7。故所求圆的方程为x2+y2+2x-18y+57=0。

6.提示∶设过切点N(1，2)的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=0，则所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0，将点M(3，-1)代入上述方程，解得。故所求圆的方程为