求解圆方程的几种常见策略

2018-11-30 16:40:35张志雄

■张志雄

在圆的方程中，需要三个独立的条件，利用待定系数法或三个方程所组成的方程组，解得待定系数的值，即可求得圆的方程。

一、已知三点求圆的方程

例1在平面直角坐标系中，求经过三点O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)的圆的方程。

分析：根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，即得圆的方程。或者，设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程。

解：(方法1)根据题意画出图形(图略)。

结合图形可知，经过三点O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)的圆心坐标为(1，0)，半径为1，则该圆的方程为(x-1)2+y2=1。

(方法2)设所求圆的方程为x2+y2+解得D=-2，E=F=0。故所求圆的方程为x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1。

上述两种解法各有利弊。方法1是利用数形结合法求解的，方法2是利用代数法求解的。

例2已知圆M与直线x-y=0及xy+4=0都相切，圆心在直线y=-x+2上，则圆M的标准方程为

分析：根据圆心在直线y=-x+2上，设出圆心坐标，利用题设条件，求出圆心坐标，再求圆的半径，即得圆的方程。

解：由圆心在y=-x+2上，可设圆心为(a，2-a)。因为圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切，所以圆心到直线xy=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离，即解得a=0，可得圆心坐标为(0，2)，半径r=2。故圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2。

根据条件利用待定系数法以及圆与直线相切的性质是解答本题的关键。

例3圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为

分析：圆关于直线的对称，其实是圆心关于直线的对称，求出圆心的对称点即可得解。

解：已知圆的圆心坐标为(-2，0)，则圆心关于直线y=x的对称点坐标为(0，-2)。

故圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为x2+(y+2)2=5。

求出圆心关于直线的对称点坐标是解答本题的关键。

例4已知圆C的圆心在坐标原点，截直线x-9y+41=0所得的弦长为 82，则圆C的方程为

分析：利用直线和圆相交的性质求出圆的半径，从而求出圆的方程。

解：由题意可得圆心C(0，0)到直线x-9y+41=0的距离为所以圆C的半径故所求圆C的方程为x2+y2=41。

本题主要利用直线和圆的位置关系求出圆的方程。这类问题往往需要借助半径r、弦心距d以及半弦长之间的关系进行求解。