“直线的倾斜角与斜率”的教材研读

内蒙古包头市包钢五中学 王 卉

教材当中的知识点在解释上和归纳上都会有其自己的特点，随着教育改革以及教材自身的不断革新，很多知识点都会出现一定的变化，因此教师需要对其进行认真研读，找出其核心思想，更好地开展教学工作。

一、问题的提出

课改之后如何开展“直线的倾斜角与斜率”相关知识点的教学工作，一直受到教师群体的热议。通过实践教学可以发现：无论是为了践行新课标的教学理念，加强概念教学的有效性，还是有效处理具有争议的教学难点问题，都需要教师对学生进行积极的引导，要在大胆的实践当中去印证教学方法的有效性，需要在探索当中实现教学工作。但很多教师在关注“干什么”的同时，对于“为什么”的教学思辨和解释却并没有给予足够的关注，特别是对教材的关注和有效利用更是没有得到关注。

二、教材的研读

1.研读倾斜角的定义

对于直线的倾斜角，在大纲当中的定义是：在平面直角坐标系当中，对于与x轴相交的一条直线，如果将x轴绕交点逆时针旋转，当x轴与直线重合时，其所转动的最小正角为α，那么这个角α便是直线的倾斜角。而在人教A版当中的定义是：当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向间形成的角α便是l的倾斜角。有些教师会认为新课标版教材当中对倾斜角进行这样的定义也是一种无奈的办法，因为在之前的教材当中并没有对任意角的概念进行介绍。针对这一问题，笔者并未给予认同，理由是：第一，在大纲版所提供的定义当中，不仅“逆时针方向进行旋转”与后面叙述当中的正角这一概念存在着语义重复，同时整个定义的叙述也非常烦琐，并不简洁，具有非常强的抽象性，学生在理解的过程中非常困难，在对其进行记忆时会出现很大的困难。第二，课标版当中的定义里，只是给出了角的两条边，而并没有将这是一个怎样的角说清楚，这种表述的方式从表面上来看并不严密，其实却是恰到好处。因为这种表述方法与数学当中对几何背景下的角的表述习惯完全相符：能够用小的便不用大的，能够使用正角便不使用负角。同样，在之前的教材当中，空间当中的三个角在定义时也是使用这样的表述方式进行处理的：异面直线与线面构成的角，都是利用两条相交直线所构成的角当中最小的角进行表示的；对于二面角的平面角，在教材当中并没有给出它的范围，原因便是大家在研究的过程中都将其默认为是一个锐角、直角或者是一个钝角。因此，当直线平行于x轴时，教材便十分自然地将它的倾斜角定义成了0°，而并不是180°。这种常识性的数学知识当中，教师需要向学生进行一种说明性的讲解，使得学生能够对其进行理解：要最大限度地寻求简单和实用，以对计算提供最大的便利的原则。总之，课标版当中对于倾斜角的定义是简洁、自然并且表述清晰的，对于学生的记忆和对其进行理解非常有利，因此在定义当中使用所成的最小正角并没有必要。

2.研读斜率公式

课标教材对斜率的相关公式进行了详细的推导，其最基本的思路便是：先将直线P1P2在方向上的具体情形展现出来，采用过这两点分别作出两个坐标轴的平行线，构成一个直角三角形的方式来完成。这种方法从表面上来看并不如大纲当中使用向量的方式进行推导来的有效和简洁，但是如果对其进行认真研究和思考便会发现编者使用了两个非常独特的意图：第一，学生非常容易对直角三角形的构造进行理解和联想，同时也能够为后续教学内容的学习打好基础。因为对两个点之间的距离公式以及点到直线的距离公式进行推导时，都需要对这一直角三角形进行有效利用。从这个角度进行分析，虽然有很多种方法都能够有效地推导出点到直线之间的距离，但是教材当中的推导方法不仅最简洁，而且也使得学生能够非常容易地进行联想。第二，让学生对数形结合的有效思想进行重新体会。让学生从几何到代数进行有效的思维转化，对坐标系所能够起到的工具作用进行有效的体会。当P2P1的方向向上时，教材当中只展现了图形，对其推导的过程进行了省略，这样便能够让学生通过自己的独立思考完成相关公式的推导，对学习过的方法进行巩固，在这一推导过程中，学生能够更好地体会到直线斜率的客观存在，与直线上任意两点的位置没有关系。

针对教材当中的知识点，教师应当认真研读，找出其规律和内涵，有效地进行解读，帮助学生对知识点进行更好的理解和掌握。教师要重视教材内容，重视学生对教材的应用和理解。