解决含参不等式恒成立问题的对策

■河南省安阳市第三中学 许庆涛

含参数的不等式恒成立问题在历年的高考中占有很大比重,笔者就这类问题的解法作了一下总结。与同学们进行交流。

一、合理讨论参数

例1 设函数f(x)=l n(x+1)+a(x2-x),其中a∈R。

(1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

(2)若∀x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围。

解析：(1)略。

若a＜0,令g(x)=2a x2+a x+1-a,则判别式Δ=9a2-8a,此时Δ＞0,令x1=时x1＞0,函数f(x)在(0,x1)上递增,在(x1,+∞)上递减,不合题意,舍去。

综上所述:0≤a≤1。

对策：不等式恒成立问题与函数的最值有密切联系,而求函数的最值与函数的单调性有关,所以在解此类问题时需要合理讨论参数的取值范围,从而正确判断和讨论函数的单调性。

二、参变数分离

例2 已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=al nx。

(2)若对任意x∈[1,e]都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围。

解析：(1)b=0。(过程略)

(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(xl nx)a≤x2-2x。

因为x∈[1,e],所以l nx≤1≤x,且等号不能同时取得,所以l nx＜x,即xl nx＞0。

当x∈[1,e]时,x-1≥0,l nx≤1,x+2-2 l nx＞0,从而t'(x)≥0,所以t(x)在区间[1,e]上为增函数。

所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1,即实数a的取值范围为(-∞,-1]。

因为x≥1,所以h'(x)≥0,则h(x)在[1,+∞)上单调递增。所以h(x)的最小值为h(1)=1＞0,从而g'(x)＞0,故g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1)=2,所以k3+k≤2,即(k-1)(k2+k+2)≤0,解得k≤1。

对策：对于含参不等式恒成立问题,难点往往在于参数与自变量的相互变化、相互影响,这个时候可以考虑将参数(或含参数的多项式)分离出来,即参变分离,从而将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题。

三、构造函数

例4 已知函数f(x)=l nx-m x2,f(x)+g(x),若关于x的不等式F(x)≤m x-1恒成立,求整数m的最小值。

当m≤0时,因为x＞0,所以G'(x)＞0,所以G(x)在(0,+∞)上是增函数。

所以整数m的最小值为2。

对策：在处理不等式恒成立问题时,如果分离变量导致函数求导比较困难时,我们可以合理构造函数,从而将不等式恒成立问题转化为函数最值问题。

综上所述,有关含参不等式恒成立的问题都是以压轴题的形式出现的,由于其信息量、思维量、运算量都比较大,需要同学们有较高的分析问题、解决问题的能力,这就需要我们在平常的学习中不断地进行总结。