对一道试题的命制预设与测试反馈差异的思考①

杨元韡 耿晓华

(1.江苏省常州高级中学 213003； 2.常州市北郊高级中学 213031)

考试作为教学评价的一个重要的形式，其价值和功能是不可低估的．作为试卷的细胞———试题，如果它背景简单，立意深刻，解法常规，甚至多样，不仅能考察学生的能力，而且能起到科学测试的作用．笔者有幸为常州高级中学高一年级学生命制期末试题，其中的附加卷部分的形式可以多样，同时鼓励创新．

笔者以苏教版必修4教材[1]为蓝本，在附加卷中命制了以下探索题，并给出参考答案．

探索题——探索几何与三角的统一之美

对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．下面的问题为苏教版必修4教材第125页的问题(2)引申出来的新问题：

如图1，矩形ABCD所在的平面与地面垂直，A点在地面上，AB=a，BC=b，AB与地面成θ角，∠CAB=φ，点C到地面的高为h，试用两种不同的方法计算h(即利用上面所说的算两次思想)，并写出你所发现的结论．

图1

参考答案如图2，第1种方法计算h：过点B作地面的垂线EF，与过点C的水平面及地面分别交于E，F，容易得到

h=EF=BF+BE=asinθ+bcosθ.

过点C作地面的垂线CG，交地面于点G，则

根据算两次的思想，我们可以发现辅助角公式一种情况：

当a>0，b>0时，

其中辅助角φ满足

图2

笔者通过观察图形给出计算h的两种方法，通过“算两次”得到辅助角公式．本以为这道题学生会循着笔者设计好的参考答案作答，但是测试的结果的确让笔者感到意外．因为学生之间思考的角度、命题者与被测者之间思考的角度都有着差异，所以学生得到的结论是丰富多彩的，笔者认为的一道“封闭”题居然变成了一道开放题！下面列出学生精彩的解答(为简便起见，以下解答仅写出关键步骤)．

学生解法1：同参考答案，得到辅助角公式．

学生解法2：

一方面，h=asinθ+bcosθ，

化简得cosφsinθ+sinφcosθ=sin(θ+φ)，

即两角和的正弦公式．

学生解法3：

如图2，一方面，

AG=AF-CE=acosθ-bsinθ，

则h=CG=AG·tan(θ+φ)

=(acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)，

另一方面h=asinθ+bcosθ，

则有(acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)

=asinθ+bcosθ，

即得两角和的正切公式．

基于对于命题预设与测试反馈存在的较大差异，笔者作了以下几点思考.

思考1 要重视“算两次”的教学

“算两次”是一种重要的数学方法，也称作富比尼(G.Fubini)原理．实际上就是从不同角度看问题，将同一个量从两个不同的角度计算两次，利用“ 殊途同归”的等量关系达到“出奇制胜”的目的．“算两次”不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，更重要的是蕴涵着换一个角度看问题的转换思想．它是数学家创造发明的法宝，也是同学们进行再发现、再创造活动的探索方式．著名数学家波利亚对此十分推崇，他曾形象地将其比喻为“抛两个锚安全系数更大”．“算两次”的解题形式，一般分为三步：“ 一方面……，另一方面……，综合这两个方面, 可以得到……”．在苏教版教材中，“算两次”的身影常常出现．例如，在必修4教材第三章中两角差的余弦公式的推导，在三角变换一章中有若干道习题，都是利用“算两次”得到或者解决；再如选修2-3教材[2]中第1章复习题第17题还明确给出了“算两次”的概念，并利用“算两次”构造组合恒等式等．

教师在教学的过程中，如果遇到一个量可以用多种方法表示，应尽量引导学生从不同的角度去表达同一个量，往往会得到一些有趣的等式，可以让学生体验数学中不同的对象之间的统一之美．例如，学生若从图形中得到这些常见的公式，就有这样的机会体验数学中三角与几何的统一之美．“算两次”的教学对拓展学生的思路，培养学生观察、联想、分析、归纳等能力，提高学生的审美水平都大有裨益．

思考2 开放性数学试题的价值值得思考

在国外的数学测试中常常出现开放性的数学试题．开放性的数学试题的特点在于被测者根据自己思维的广度和深度的不同而得到不同层次或者不同类别的结论，或者不能得到相应的结论，从而有一定的区分度，但又不禁锢学生思维．例如，在上述探索题中，计算h的方法至少有3种，一些被测者因只能利用一种方法表示不能得到等式；另一些被测者能得到两种方法，很快能根据“算两次”得到等式；而即使能用“算两次”得到等式的被测者，由于计算方法存在差异，所得的等式完全不同．实质上试题考察学生思维的广度，考察学生能否从多个角度观察问题、分析问题、归纳结论的能力．例如，本次测试中，有同学得到 (acosθ-bsinθ)·tan(θ+φ)=asinθ+bcosθ后，采取继续消元的方式，得到了熟悉的两角和的正切公式，但也有同学得到这个等式后没有继续化简，这就体现了被测者思维的深度之间也存在着差异．这说明试题也能考察被测者思维的深度．

开放性数学试题能引导学生从多角度去思考问题，提高思维的广度，能习惯用发散性的思维考虑问题，可能会出现让命题者都始料不及的丰富而正确的结论．利用开放性的问题训练学生的思维，从长远的角度看，能够潜移默化地培养学生今后从事学术科研能力，因为学术研究探求的结论往往都是未知的，需要去探索发现并予以证明或解决等．

遗憾的是，因为试题在很大程度上要讲究标准化，所以这一类开放题以往很少能进入我们的视线．值得欣喜的是，最新修订的《普通高中数学课程标准》(2017版)的学业水平考试和高考命题建议中明确指出：“命题时，要有一定数量的应用题，还应包括开放性问题和探究性问题”，这表明开放性问题也将会逐渐地被重视.我校的附加题的命制要求，实际上同时给了命题者和被测者很大的空间，真正让附加题成为命题改革的实验田．本次尝试得到了高一数学组同事的认同，也得到绝大部分学生的认可(讲评时结论的多样性让学生感叹不已)．

思考3 辅助角公式的引入的途径的比较分析

途径1： 观察—比较—归纳—验证—(反思)

途径2 ：观察—计算—验证—反思

类似于探索题，先通过观察和计算得出辅助角公式(具有一定的局限性，如角的范围等)；验证环节与反思环节同途径1．

途径2是受前面探索题启发而设计的，从几何的问题入手，通过“算两次”先发现公式，再去验证公式，再反思，这也是一个有益的尝试．因为通过图形发现公式本身难度较大，所以途径2比较适合观察能力、分析能力很强，基础很好的学生．因为有了图形的几何解释，所以理解公式本身就有了几何的表象，这有利于加深对公式的理解，能进一步感受到几何和三角的统一之美，使得课堂更加厚实而有趣．事实上，这种引入的方法非常像数学家发现新的数学定理，推论，公式等的过程，也就是经历先观察，再猜想，最后证明(或验证)．

途径1和途径2都遵循了弗赖登塔尔的的基本观点—“数学教育就是数学的再创造”[3]，具体地，都是先让学生从特例的归纳、比较或者从几何问题中“算两次”发现辅助角公式，再去对公式进行验证、反思．选择何种途径应依据学情，因为学情是教学的出发点，也是教学的落脚点．选择适当的方法引入，使不同层次的学生有不同的收获．如果不顾学情选择不恰当的引入方法，只会适当其反；比如对基础一般的学生若使用途径2的方法引入，可能连辅助角公式都得不到，这样反而会弄巧成拙；而对基础很好的学生若使用省略反思环节的途径1引入，学生可能觉得寡然无味，感觉似乎少了点数学的道理．

以上是笔者对一道试题的命制预设与测试反馈差异的几点不成熟的思考，以期与同行分享，有不当之处恳请批评指正！