从阿波罗尼斯到柯西：“圆锥曲线”研究方法的变迁

王海青 李晓波

(1.惠州学院数学与大数据学院 516007；2.惠州一中高中部 516007)

今天人们很难想象，圆锥曲线最初被研究仅仅只是因为数学家们的爱好而已，和实际应用并没有什么联系．古希腊数学家阿波罗尼斯就对圆锥曲线性质做了完善的研究，在近2000年后，人们才发现圆锥曲线与自然界的物体运动、天文学及军事科技有密切联系，由此进一步激起了研究者们对圆锥曲线的兴趣．圆锥曲线的历史发展过程反映了其研究方法的变化和不同定义间的关系，也深刻揭示了各类圆锥曲线的特性与统一性的交融．了解圆锥曲线的发展历史及其学科结构，有助于教师对圆锥曲线教学内容的准备理解和把握.

1 圆锥曲线的起源

图1

柏拉图学派的梅内克缪斯(Menaechmus，公元前375—公元前325)在解决“倍立方”问题时研究了圆锥曲线的性质．[1]39他利用三种正圆锥——锐角的、直角的和钝角的圆锥，再用垂直于锥面一母线的平面来割每个圆锥面，从而得到椭圆、抛物线和双曲线的一支(如图2).

图2

2 圆锥曲线与欧几里得几何

阿波罗尼斯(Apollonius，约公元前262-公元前190)是第一个依据同一个(正的或斜的)圆锥的截面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人．其所著的《圆锥曲线论》[2](Conic Sections)共八篇，最后一篇已失传．前三篇主要是欧几里得关于圆锥曲线的那本失传著作的内容，[1]72，[3]170包括梅内克缪斯(Menaechmus，约公元前380-前320)和阿基米德(Archimedes，公元前287-公元前212)在这方面的工作．阿波罗尼斯在前人的基础上去粗取精，按照欧几里得《原本》公理演绎的方式组织内容，使之系统化．《圆锥曲线论》含有许多独到和新颖的创造性材料，几乎网罗了圆锥曲线的性质．阿波罗尼斯将欧几里得的论证几何水平发展到极致，使《圆锥曲线论》成为数学史上的一座丰碑，他本人也被称为古希腊“伟大的几何学家”．[2]8

阿波罗尼斯从几何直观上给出了圆锥曲线静态的原始定义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(如图3)．所以，在《圆锥曲线论》中圆锥曲线也称为“圆锥截线”．严格来讲，得到的交线除了圆、椭圆、双曲线和抛物线外，还包括三种退化情形(一条直线、一个点、两条相交直线).

图3

图4

古希腊时期还没有代数的符号体系和坐标，阿波罗尼斯的证明建立在纯粹的论证几何基础上，并用文字表述证明的过程和结论，这是后人难以读懂其著作的原因之一．但他处理圆锥曲线的思想却一直为之后的数学家所用，如利用方程推导圆锥曲线的性质，把抛物线看成是椭圆或双曲线的极限情形.

3 圆锥曲线与解析几何

图5

图6

图7

《圆锥曲线论》问世后将近2000年的时间，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展．直到16世纪，人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，也是自然界物体运动的普遍形式．1579年意大利数学家蒙特(Monte，1545—1607)在其著作《平面球体图》中将椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹，并利用定义讨论了他制造的椭圆规．[4]230蒙特的椭圆规与后来的荷兰数学家舒腾(F.van Schooten,1615—1660)设计的椭圆作图工具类似，如图5．舒腾还根据椭圆的特性给出了另两种作图工具，如图6-7．[5]222-23017世纪初，德国天文学家开普勒(Johannes Kepler,1571—1630)揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行，意大利物理学家伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)发现物体斜抛运动的轨道是抛物线．这些事实推动人们重新考察圆锥曲线并寻求其对天文学有用的性质，但并未提出新的定理或证明方法．

真正的方法创新首先来自解析几何．17世纪笛卡尔(Rene Descartes，1596—1650)的《几何学》(1637)和费马(Pierre de Fermat,1601—1665)的《空间与平面轨迹入门》(写于1629年，1679年出版)的出现，使解析几何走上了数学舞台．它以论证几何为基础，通过坐标系把代数方程和曲线曲面等联系起来，利用“几何问题→代数问题→求解→反演”的方式将几何代数化，还可由已知的代数结果发现新的几何性质．解析的代数方法比古希腊的欧氏几何更具一般性而不过多地依赖几何图形.

图8

欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)在《分析引论》(1748)中系统地阐述了平面和空间解析几何，给出了现代形式下圆锥曲线的代数定义：在笛卡尔平面上，二元二次方程ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的图象是圆锥曲线．这个二次方程包含了圆、椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形．[6]36-41欧拉还按参数方程和极坐标方程论述了圆锥曲线并指出：圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化为标准形式之一．二元二次方程ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0，可经过旋转变换

消掉交叉项2bxy．此时若平方项的系数都不为0，再进行平移变换

就得到方程的标准形式ax″2+cy″2=f″．旋转和平移保持几何图形(圆、椭圆或双曲线)不变，同时使主轴成为坐标轴，中心成为坐标原点．若消去交叉项后平方项的系数有一个为0另一个不为0，如c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0．当d′≠0时，则平移后得到抛物线的标准方程c″y″2=d″x″．对方程的系数进行讨论还会得到退化的点和直线.

4 圆锥曲线与射影几何

射影几何与解析几何几乎在同一时期产生，但解析几何的光芒使得前者在很长的时间里未被重视．射影几何研究的是几何图形在投影变换下保持不变的性质．创立者德萨格(Desargues，1593—1662)首先将射影几何的思想用于研究圆锥曲线，考察它的射影性质，使圆锥曲线理论获得了新发展．[4]158他在其著作《试论锥面截一平面所得结果的初稿》(1639)中将圆锥曲线直观定义为：圆在平面上的投影(如图9)．纯粹的射影定义由施泰纳(Jakob Steiner，1796—1863)在1832年给出：二次曲线是两族射影相关的线束中相应直线交点的轨迹．[8]217，[9]35

图9

文艺复兴时期绘画的透视法工作提出了问题：如图10，在光源O的投影下，实物ABCD与其投影截景A′B′C′D′有哪些性质保持不变？一个实物的同一投影的两个截景有什么共同的几何性质(如图11)？透视法问题实质是一个投影下的不变性问题——射影几何的课题．德萨格最先探索了这些问题并发现：原图与截景的交比、对合关系在投影下保持不变．只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲线．德萨格把圆锥曲线理解为圆在同一投影下的不同截景——圆锥曲线的重要射影性质，由此将圆的性质推到任一类圆锥曲线上．德萨格通过投影和截景提供了统一处理圆锥曲线的简便方法.

图10

图11

早期的射影几何学家追求纯粹的综合法处理问题，解析几何的发展促使后来的数学家用代数的方法研究这一学科，获得了许多新的圆锥曲线射影性质．沿着这一方向人们开始寻求几何图形在不同坐标系下保持不变的那些性质并促成了对代数不变量的研究，这属于代数几何的范畴．[9]97

用综合法证明圆的截景一定是圆锥曲线的一个直观简洁的初等证明是由比利时数学家G. F. Dandelin 1822年给出的．[10]161以椭圆为例，如图12，在截面的上、下方各作一个与圆锥内切的球，同时和截面相切于F1,F2．在截面的交线上任取一点P，连接OP交两球的切圆于点M,N．由相切和球的性质容易得到：PF1=PN,PF2=PM,则PF1+PF2=PN+PM=MN,而MN为定值，F1,F2为定点，得证．G. F. Dandelin也利用同一个模型证明了圆锥曲线原始定义与焦点-准线定义的等价性.

图12

5 圆锥曲线与线性代数

线性代数产生于17、18世纪，在19世纪获得辉煌成就．它通过向量、矩阵和行列式大大简化了几何的证明和计算，使得许多几何内容被包含在其中．简言之，几何所研究的只是在线性变换下仍保持不变的坐标之间的关系，即线性变换的不变量理论．线性代数中的重要内容——二次型理论就是研究线性空间中的几何图形在不同坐标基下的矩阵表示．[11]246

二次型的研究起源于对二次曲线和二次曲面分类问题的讨论．[12]3521826年柯西(Cauchy，1789—1857)在其著作中给出结论：当方程是标准型(只含平方项)时，二次曲线(面)用二次项的符号来进行分类．西尔维斯特(1814—1897)在1852年给出了n个变量的二次型的惯性定律说明方程为什么通过不同变换化简成标准型时总是得到同样数目的正项和负项，即保持惯性指数不变．这个定律后来被雅可比重新发现和证明．惯性指数是不变量，与基底即坐标的选择无关，因此利用其对二次型进行分类讨论．

二次型也称为“二次形式”，指只含有二次项的n元多项式，即为：

=xTAx.

(Ⅰ)

上式只含平方项时称为二次型的标准型：

(Ⅱ)

对称矩阵A和对角型矩阵Λ称为二次型的矩阵.

我们可以通过正交变换x=Qy(Q为正交矩阵)把二次型(Ⅰ)变为标准型(Ⅱ)，即f(x1,x2,…,xn)=xTAx=yT(QTAQ)y=yTΛy．求正交矩阵涉及到矩阵的特征值和特征向量的内容．正交变换是刚体变换，表示空间中的一个旋转，它保持向量的长度和角度不变，因此保持几何图形不变.

6 历史的启示

圆锥曲线的定义和研究方法的改变反映了几何学的发展变化过程．数学的发展提供了更为简洁的研究方法，数学家们依据圆锥曲线的性质给出不同定义以便于研究．而圆锥曲线的光学性质、力学性质及其与物体运动轨迹之间的关系是刺激人们不断研究的最基本动因．这也恰恰表明生产生活的外部需要和数学内部自身发展对数学的促进作用．此外，许多数学问题在初等数学的体系下很难揭示本质，而只有在非初等的理论结构内才能被深刻地理解．几何也一样，在欧氏几何和解析几何范畴下难以理清的现象在高等数学的结构下则一目了然．如三种圆锥曲线的各自定义、统一定义及其性质的密切联系，从射影几何的框架下看是很显然的事实；一般二次曲线方程与圆锥曲线标准方程和统一方程之间的关系，它们都涉及到不变量的思想.

圆锥曲线的历史揭示了其知识的起源与发展、思想方法及其应用价值，这正是数学教育教学的起点和探究的开始，从中可以创设合适的问题情境展开教学．依据历史可知圆锥曲线相关知识的整体结构如图13．它反映了圆锥曲线与物理学、天文学和数学学科分支之间的联系,研究方法和定义的变化．虽然中学的数学教材将圆锥曲线置于解析几何的框架下进行讨论，而未涉及射影几何和线性代数的知识，但数学教师可由此从更高的视角审视圆锥曲线内容,把握本质以有效组织教学.

图13

从欧氏几何到解析几何，再到射影几何和线性代数中的二次型理论，圆锥曲线的定义经历了原始定义、平面上动点的轨迹定义、射影定义、标准方程定义、焦点-准线定义、代数方程的统一定义以及通过二次型的惯性指数进行分类研究的变化过程．表述方式也经历了由几何静态的直观描述→几何动态的度量性质描述→射影性质的描述→代数方程的形式描述的变化过程．而研究方法从欧氏几何的纯几何综合法→射影几何的方法→以坐标为媒介的解析法→线性代数二次型的正交变换法，经历了由繁到简，定性研究到定量研究，再到形式研究的变化．图14反映了在欧氏几何和解析几何的框架下圆锥曲线定义的变化及相互关系.

图14