发展关系性思维，实现从算术到代数的顺利过渡

陈英

由于我校是九年一贯制学校，所以有更多机会与初中数学教师进行沟通交流。不止一次地听到初中老师反馈，很多刚刚步入初中的学生难以适应数学学习，其中最难的是从算术方法到代数方法的转变。学生没有代数的意识，不喜欢也不会用方程解决问题，他们宁愿选择比较困难的算术法也不去选择简易的方程来解开题目。初中老师认为是小学老师太过于强化算术方法，以至于到了初中后，要费很大力气才能“掰回来”。小学老师则认为把四则运算的学习夯实一些没有什么不好。学生不用方程解题是因为“设——列——解——答”的步骤太繁琐，要不是有些题目要求必须用方程解决，就都用算术方法，多简单啊！等以后遇到难题了，学生自然就会选择用方程解题了。

事实上，小学数学学习与初中数学学习是义务教育阶段中一脉相承的两个学习阶段，小学数学是初中数学的基础，初中数学又是小学数学的延续和扩展。学生从小学升入初中要经历知识的由浅到深，思维由具体直观逐步抽象概括的过程。从算术思维到代数思维的过渡无疑是其中最重要的，也是比较困难的方面。

一、从算术到代数，如此之难

针对以上情况，小学数学老师需要反思：学生为什么不愿意用方程解决问题？仅仅是因为用方程解决问题的步骤繁琐吗？还是另有原因？还有，等到除了方程“别无选择”时“被迫”接受，真的为时不晚？

我们先来看看《数学课程标准》的要求，第二学段“式与方程”的内容标准是：1.具体情境中能用字母表示数。2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如3χ+2=5，2χ-χ=3），了解方程的作用。4.了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

接下来，再来看教材中的编排：

北师大版小学数学教材“式与方程”内容分两部分编排，具体安排如下表：

人教版小学数学教材“式与方程”内容安排在五年级上册第五单元“简易方程”，具体内容如下表：

可以看出，教材还是很努力地落实“课标”的要求，循序渐进地渗透代数思想，培养学生用字母表示数、用方程解决问题的能力。

既然“课标”和教材都没有问题，问题一定是出在了教师的把握和执行上。我们对小学数学教师做了一次调查：你认为小学生在用方程解决问题时遇到的最大困难是什么？79.5%的老师认为困难是“找不到题目中的等量关系，不能正确列出方程”。85.3%的学生也存在同样困扰。

大庆市小学数学名师工作室全体成员从这个研究背景和现状出发，申请了全国新世纪研究课题“小学生等量关系学习路径的研究”。通过研究，我们发现小学生对于等量关系的学习，不是一节课就能全部完成的，学生对“等量关系”这一问题的建模需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深，逐步积累形成的过程。而且，等量关系作为数量关系之中重要的一种，决不能等到学习“方程”之时才去强调，而应在低年级学习中重视数量关系，有意识地培养关系性思维，并适时进行有效指导，发展关系性思维，为学生从算术思维向代数思维顺利过渡做好准备。

二、从算术到代数，如此，不难

那么，在小学阶段应该如何发展学生的关系性思维呢？接下来，笔者将结合工作室团队的实践研究与大家进行分享。

1.调动已有生活经验，感受数量关系。

研究表明，两岁或三岁的幼儿就已经表现出一定的数感，也许他们还不知道用数字来描述物体集合，但是他们能分清有两个或三个物体的集合（Gelman &Gallistel;，1978）。这也说明，幼儿很小时就对生活中的数量有了一定的感知。例如，他们对物体的多少（如图1-1）、身体的高矮、物品的长短、书本的厚薄、年龄的大小，都有自己的感受。

教师要善于调动学生的已有生活经验，在感知数量大小的同时感受数量之间的关系。学生根据生活经验，通过看图或是实际情境模拟，能够发现数量间的关系：红色的绳子比绿色的绳子长（如图1-2）；老虎比豹子重，狮子比老虎重，所以狮子最重，豹子最轻（如图1-3）。

小学生经常玩的猜数游戏也能帮助他们感受数量关系（如图1-4）。“一只手里有4个棋子，另一只手里有2个棋子，两只手合起来有多少个棋子？”“两只手里一共有6个棋子，一只手里有3个棋子，另一只手里有几个棋子？”在这个游戏中，学生会感受到其中存在的数量关系，即“两只手里的棋子数合在一块儿就等于两只手里的棋子总数”。感受到这个数量关系，学生往往不需要利用加减法计算，也能够“看得出”答案的。

2.实物操作具体直观，发现数量关系。

实物直观，即实物层面的几何直观，是指以生活中实际存在物作为参照物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得判断的一种能力。学生可以利用实物操作，具体直观地感知数量之间的关系。例如，在一年级上册认识1-10以内的数时（如图2-1），让学生边边拨边数，这样，就将这些相互独立的数字之间的关系建立起来。

在10以内数的比较大小中（如图2-2），可以利用实物图片摆一摆，数一数，感受一一对应，感悟数量的多少。学生通过实物或者图片等替代物操作，知道6只小松鼠与6个盘子一样多，6只小松鼠比5个勺子多，比7个杯子少。而且学生知道能够“一一对应”的就说明两个物体是一样多的。这也为后续学生认识相等关系即等量关系做好了准备。

3.抓住关键信息词句，理清数量关系。

学生对于信息较多的问题，往往找不出其中的数量关系。这时，教师要适时指导，教给方法，帮助学生学会梳理信息间的数量关系。

例如，在下图中（如图3-1），先让学生说一说图中的数学信息，然后提出问题：两队都上船后，船上还有多少个空座位？教师要引导学生抓住关键词思考：“可乘90人”是什么意思？两队都上船后，“还有空座位”说明什么？学生继续思考，这条船上一共90个座位与这两队人数以及空座位之間有什么关系？学生会发现，两队人数合起来，再加上空座位的数量，应该正好等于船上的座位总数。

一般情况下，“一共”“还剩”等关键词的确能帮助学生快速确定运算方法，但是如果没有准确把握题目中数量关系，就会适得其反。例如，学习五年级下册《分数乘法》，遇到下图中的题目时（如图3-2），学生出错率特别高。女生植了20棵树，男生植树棵数比女生多■，男生比女生植树多多少棵？这其中存在着两个等量关系：女生植树棵数+男生比女生多植的棵数=男生植树棵数；女生植树棵数×男生比女生多植的倍数=男生比女生多植的棵数。很多学生看到了“比……多”，就认为肯定要用加法，于是，用两步运算求出了男生植树的棵树。

因此，教师要及时向学生表明，在一个问题情境中，可能存在着多组数量关系，寻找到已知的信息与要求的问题之间的数量关系，并把数量关系理清了，问题也就迎刃而解了。

4.尝试运用多种表征，描述数量关系。

把题目中的数量关系理清并描述和表示出来，也非常重要。学生描述数量关系时，可以用语言表达，也可以用图示表达，还可以用文字式或算式来表示。其中，直观的画图无疑是非常有效的方法。

例如，六年级上册的“分数混合运算（一）”（如图4-1），在“兴趣小组”情境中，学生发现3个数学信息，并提出问题“航模小组有多少人”。教材没有急于让学生列式解决问题，而是让学生先独立思考“航模小组的人数与什么有关呢”，接着学生尝试画图表示航模小组与气象小组、摄影小组之间的人数关系，最后才是列式解决问题。

布鲁纳认为，在人类智慧生长期间，经历了三种表征系统的阶段。分别是动作表征、图像表征和符号表征。在低年级表示数量关系时，应鼓励学生用自己的方式表示，并在合作交流中尝试读懂他人的想法，逐步实现从动作表征到图像表征再到符号表征的抽象提升。

在描述数量关系时，仍然是要关注数学本质，不要太在意学生描述数量关系的方式，而是要关注学生是否已经找到题目中数量关系，能通過自己的方式表达出来，并根据数量关系解决问题。

例如，在一年级下册《开会啦（比较意义下的减法）》课上（如图4-2），个别学生列式7+4=11，已经有7把椅子，再添上4把椅子，11把椅子正好够坐，所以还缺4把椅子；也有学生列式11-4=7，11个人中去掉4个人，就正好够坐了，说明还缺4把椅子。

这几名同学都能够读懂题目信息，找清题目中的数量关系：现在有的椅子数量+还缺的椅子数量=总人数，并根据这个数量关系进行计算，正确解决了问题。所以，我们应该允许学生用自己的方式表达，不能强迫学生必须列式为11-7=4。另外，列式为7+4=11的学生，他们已经有了方程的萌芽。已经有7把椅子，再添上几把椅子，就正好是11把椅子了？7+（）=11，只不过因为数目比较小，可以直接想出结果罢了。

这样，教师不强迫学生统一为“规范”的减法算式，生硬地将这一点代数思维扼杀在萌芽状态，学生就不会到了高年级都“一刀切”地在只会“逆向”算术，不会“顺向”方程。

5.综合运用解决问题，丰富数量关系。

在学生对数量关系有了充分的认识，并能借助四则运算解决一些实际问题后，开始学习字母表示数和认识方程，并尝试用方程解决实际问题。在后续的学习中，教师要继续在解决问题中发展学生的关系性思维。

例如，在学习了“平行四边形的面积”后，如何根据给出的平行四边形的面积和高计算图形的底呢（如图5-1）？要先找到题目中的等量关系，即计算公式“平行四边形的面积=底×高”。由于同一个等量关系可以有不同的表达方式，也考虑到除法是乘法的逆运算，推出“底=平行四边形的面积÷高”。根据这个关系，学生可以用除法解决问题。学生也可以用字母表示平行四边形的底，直接根据计算公式列出方程来解决。

在一些不适合学生逆向思维的问题情境中，我们不建议学生用算术法来解决。例如：在“分数除法（三）”一课中（如图5-2），根据题目中的信息，学生借助画图理解题意并寻找到等量关系是“参加活动总人数×■=跳绳人数”。我们鼓励学生顺向思维，根据等量关系用方程解答。

我们发现，学生对数量关系的感觉和经验越来越丰富，就能更容易理清数量关系，解题也就越容易，也就越发地接近数学本质。这也是“课标”中只明确提出了小学需要学习的两个常见的数量关系“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”的原因。

例如，“相遇问题”中（如图5-3），数量关系是一致的：淘气步行的路程+笑笑步行的路程=淘气家到笑笑家的路程。还有一个数量关系，也是小学阶段重要的数学模型：路程=速度×时间。根据题目中的信息及数量关系，学生很容易列出方程。这其中，学生不用再去记忆“速度和×相遇时间=路程”“路程÷速度和=相遇时间”等这些所谓的公式了。

事实上，算术法解题与用方程解题这两种方法，我们不用太过于纠结它们的区别，更不应该一厢情愿地提醒学生去选择。我们完全可以从联系的视角出发，引导学生发现数量关系是一样的，只是选择了不同的形式解题而已。当学生体会列方程解决问题是对算术法解决问题的延伸后，从算术到代数之间的也就不存在什么“不可逾越的鸿沟”了。

纵观数学课程内容体系，可以说，有“数量”的情境就存在着“数量关系”，就需要理清“数量关系”。正是在解决这些问题的过程中，学生丰富着对数量关系的认识，积累着寻找和理清数量关系的经验，逐步建立和发展着关系性思维，从算术到代数顺利过渡，最终实现“学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”，使发展小学生数学核心素养成为现实。

（作者单位：大庆市万宝学校）

编辑/魏继军