让数学建模更接地气

张卫星

数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学关系结构，是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达。数学中的各种概念、公式和理论是由现实世界的原型抽象出来的数学结构，实质上都是数学模型。在日常数学教学中，教师适时创设建模机会，让学生参与建模的全过程，可以让学生的思维更凝练，方法更精准，从而达到“一例带一串”的教学目的，为大面积提升学生的数学核心素养奠定基础。但儿童毕竟是儿童，如果数学模型太复杂或者建构过程太抽象，那么，学生就很难理解模型的来龙去脉。因此，作为数学教师一定要静下心来精心设计建模过程，力求让建模适合学生的认知水平，让数学模型能被大多数学生理解。唯有这样，数学建模才接地气。

【案例呈现】

在学生探索出三角形、四边形、五边形、六边形的内角和之后，笔者顺势把板书补充完整（如表1）。在此基础上，笔者及时引导学生反思，和他们一起经历如下的教学片断：

师：看了这个板书，你们有什么发现？

生1：图形每增加一条边，图形内角和就增加180°。

生2：图形每增加一条边，包含的三角形个数就增加1个。

生3：图形每增加一条边，包含的三角形个数就增加1个，内角和就增加180°。

师：嗯！你们的眼睛真亮！按照你们刚才发现的规律，如果是七边形，那么，包含的三角形个数及内角和又是多少呢？

生：如果是七边形，应该包含5个△，内角和是900°。（先课件验证，然后在板书下面添加）

师：如果是八边形呢？

生：如果是八边形，应该包含6个△，内角和是1080°。（师继续添加板书）

师：如果是九边形呢？

生：如果是九边形，应该包含7个△，内角和是1260°。（师继续添加板书）

师：如果是十二边形呢？

生：如果是十二边形，应该包含10个△，内角和是1800°。（师继续添加板书）

师：如果是二十二边形呢？

生：如果是二十二边形，应该包含20个△，内角和是3600°。（师继续添加板书）

师：你们真聪明！再看看图形的边数和包含的三角形个数之间有什么关系？

生1：我发现包含的三角形个数都比图形的边数少2。

生2：我发现图形的边数都比包含的三角形个数多2。

生3：我发现“图形的边数-包含的三角形个数=2”。

师：图形的边数-包含的三角形个数=2，是真的吗？请大家根据板书验证一下。

（不一会儿，学生纷纷表示同意）

师：刚才的结论经过验证果然是正确的！请大家再看一下，包含的三角形个数和内角和之间又有什么关系？

生：三角形的个数×180°=内角和。

师：真的吗？再验证一下！（学生一验证，发现结论是成立的）

师：那现在我要考考大家了，看看谁算得又对又快？请大家准备好笔和纸。

师：如果是三十边形，有几个三角形？内角和是多少？（不一会儿，有学生举手发言）

生：30-2=28（个），28×180°=5040°。（添加板书）

师：嗯！速度真快！如果是一百零二边形呢？（同样，不一会儿，大家纷纷举手）

生：102-2=100（个），100×180°=18000°。（添加板书）

师：真厉害！如果是N边形呢？（一个男生把小手举得高高的）

生：应该是（N-2）个，内角和是（N-2）×180°。（其他同学先是一愣，马上回过神来，并报以热烈的掌声，笔者趁势添加板书，完整板书，如表2）

师：四（2）班的同学真棒！现在请你们大声地说出如何求N边形的内角和？

生：N边形的内角和=（N-2）×180°。

【教后反思】

“多边形内角和”是人教版四年级数学下册的内容，其字母公式是学生求多边形内角和的最好依据，在实际教学中，教师理应引导学生参与这一模型的建立。如果学生参与这一模型的建立，那么后续教学就会变得更容易。那么，如何让这一模型建立接近学生实际，如何让模型建立更接地气呢？结合上述案例，笔者认为应做到以下几点：

1.建模要果断

教材在新课编排中没有涉及“多边形内角和”字母公式的建立，但在接下来的“练习十六”中却有意引导学生发现并建立这一模型。笔者认为，新课教学中的“做一做”已经触及到六边形的内角和，再稍微拓展一下就能较好地建立这一模型。事实表明，在新课教学中，应果断引导学生建立这一模型，大部分学生能够理解，实际效果比预想的还要好。可见，数学模型的建立时机要根据实际情况灵活选择，该果断的时候就要果断。唯有果断，才能事半功倍。

2.建模要充实

数学建模的实质是归纳与提炼的过程，而归纳与提炼需要足够的例子来支撑。因此，教师在实际建模教学中要为学生提供一定量的例子。只有例子达到一定的量，学生才有充分感悟的时间和空间，从而使大部分的学生都能自己感悟数学模型的由来。为此，在上述“多边形内角和”最终模型得出之前，笔者和学生一起经历了11个多边形内角和的求解过程，同时将这些结论都在黑板上板书出来（如表2），从而有利于学生的归纳与提炼。如果再仔细分析，我们又会发现这11个多边形内角和的求解过程实际上分成三个层次。第一层次，即三角形到六边形的内角和是认真探究的过程，是新课的主体，也是教学的重点；第二层次，即七边形到二十二边形，这个过程是引导学生根据第一层次的经验主动拓展、提炼模型的过程，经过这个过程，让学生感受到图形边数与包含的三角形个数及内角和之间的初步关系；第三层次，即三十边形和一百零二边形，这个过程是对“多边形内角和”初步模型的验证及使用。通过这三个层次的探究，学生感受丰富，所以最终数学模型——N边形的内角和公式也就水到渠成了。

3.建模要贴近

数学建模一定要贴近学生的认知水平。只有贴近学生的实际，数学建模才有实效。笔者认为要达到这个目的，首先，要做到语言儿童化。只有这样才能吸引学生主动参与建模过程。如在上述“多边形内角和”教学中，笔者努力让问题儿童化，如“看了这个板书，你们有什么发现？”“嗯！你们的眼睛真亮！按照你们刚才发现的规律，如果是七边形，那么，包含的三角形个数及内角和又是多少呢？”“图形的边数-包含的三角形个数=2，是真的吗？请大家根据板书验证一下。”这些问题能引起学生的共鸣，能引起学生的响应，从而数学建模走向深入。其次，问题要精准。学生建模的过程就是学生探究的过程，而学生的探究需要精准的指向。因此，在引导学生建模的过程中，问题的指向性就显得尤为重要。“多边形的内角和”的模型建构既需要发散性的问题，但也需要指向精准的问题。笔者在发散性提问后，下述几个问题的指向就非常精准——“你们真聪明！再看看图形的边数和包含的三角形个数之间有什么关系？”“请大家再看一下，包含的三角形个数和内角和之间又有什么关系？”“如果是三十边形，有几个三角形？内角和是多少？”当问题精准了，学生的思维指向就更精准，效率就更高了。

可见，建模要贴近学生的实际认知水平是数学教学的必然要求。

4.建模要精炼

数学模型是数学归纳与提炼的结果，这个结果既应该是相应年级的学生能够理解的，又应该是比较精炼的。事实上，数学模型精炼不精炼体现了教师钻研教材的力度和深度，当教师研读教材准确了，其预设的数学模型肯定是简洁易懂的，如上述“多边形内角和”的模型。如果教师研读教材不到位，其数学模型就可能比较烦琐或模棱两可，弄不好还会把学生搞糊涂。因此，笔者认为，一线教师要静下心来仔细揣摩教材，认真梳理原有的教学经验，虚心向有经验的教师请教，力求引导学生建立一个简洁、精炼、易懂的数学模型。唯有这样，才能便于学生理解，便于学生识記。