把“某人”变“本人”

张登林 谢秀芳

计数问题是数学的重要研究对象之一，是组合数学的最初步知识，这种以计数为特征的内容在中学数学中较为独特，它不仅应用广泛，是学习统计、概率等分支的必要准备知识，也是发展我们抽象能力和逻辑思维能力的好素材.分类计数原理与分步计数原理作为本章的开篇，它是解决计数问题最基本、最重要的方法，为解决许多实际问题提供了思想和工具，可以这么说，理解并掌握了它，本章后面的学习就会显得轻松许多.

喜欢电子游戏的同学们应该都看过网上相关第一视角的视频，“第一视角”在游戏中的理解是：以游戏操作者本人的视角观看整场游戏演示，相当于站在操作者身后看，自己所见即为操作者所见.“第一视角”更直观，更具代人感，可以观察到操作者每个细致入微的操作，洞悉操作者每一个战术心理，特别在需要操作技巧、战略技巧的游戏中更利于旁观者跟踪学习，因而受到许多玩家喜爱.那么我们在解决一些数学问题是不是也能从这个角度把题目中的“某人”想象成“本人”？在面对这个问题时“本人”你会怎么做呢？

例1 某校学生会由高一年级2人，高二年级3人，高三年级4人组成.

（1）任选其中1人为校学生会主席，有多少种不同的选法？

（2）每年级各选一人为校学生会常委，有多少种不同的选法？

现在我们把这个权利交给你，让你随机决定选取谁，9个同学名单已经在你的手上，你手里拿着笔，对着名单在浏览…一

对于问题（1），你这个名额是给高一、高二还是高三呢？如果给了高一，你给高一的谁呢？这时你有几种选择？如果给了高二、高三又是怎样的情况呢？当你填上一个人名后，这件事你完成了吗？如果你想修改，你得把你填上的擦去，填完后回想一下，你可以有几种填法？

对于问题（2），你依次选择三个年级的人选，对于高一的人选，你有几种选择？填完高一人选后，你这件事完成了吗？显然没有，你继续填高二的人选，又面临几种选择？填完后仍然没有完成任务，还得继续选出高三的人选.之后你的任务终于完成了，再回想一下，你可以有多少种填法？

问题（1）就是分类计数的方法，一共有2+3+4=9种不同的结果；问题（2）就是分步计数的方法，一共有2×3×4=24种不同的结果.

分类计数原理与分步计数原理是研究“完成一件事”方法的重要工具，两个原理的区别可以从以下三点进行理解.

1.从“完成一件事”的含义看，分类完成一件事指做这件事可分为若干类方法，每类方法都能独立完成这件事，各类方法相互独立；而分步完成一件事指完成这件事要分成几个步骤完成，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，哪一步骤都不能独立地完成这件事.

2.从分类与分步的角度看，分类计数原理的各类具有并列性、独立性；分步计数原理的各步具有必须性.

3.从特殊字词看，如从两组元素中“任取一个”和“各取一个”，虽一字之差，但“任取一个”是分类，“各取一个”是分步.

正所谓：两大原理显神通，类类独立不重漏，步步相依不缺步，类类相加步步乘，遇事三思而后行，

例2 从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学参加学校A，B两个会议，每人参加一项，一共有____种选择.

讓你来解决这个问题，你是分类还是分步？分几类？分几步？你的一个结果完成任务了吗？显然本题要分成两步完成，第一步给A会议选择人选，第二步给B会议选择人选，脑海里想象成你来填这样一个表格：

第一步有4种选择，第二步有3种选择，所以一共就是4×3 =12种.

通过以上两题我们再总结一下利用两个计数原理解题的思考顺序：

分类计数：确定任务、一步到位、分类、各类方法相互独立、种数相加；

分步计数：确定任务、分步完成、分步、各个步骤相互依存、种数相乘.

但有的时候可能完成一件事的过程中既要分类又要分步.

例3 盒中共有9个不同的小球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，现从中取两个球，放入两个不同的杯子，要求两球颜色相同，一共有多少种放法？

现在9个球摆在你的面前，你的任务是什么？要完成任务你可以分成几类？每一类又可以分成几步？

任务是在两个杯子中分别放人颜色相同的一个球，按照颜色可以分成三类，如果都放红色的球，那我们义要分两步放，第一个杯子有4种选择，第二个杯子有3种选择，那么红色的就有4×3 =12种放法.那选其他两种颜色又是什么情况呢？自己动手尝试解决吧.（4×3+3×2+2×1= 20种）

在解决计数相关问题时，明确任务是很关键的第一步，有时可能会因为任务选定产生错解.

例4 甲、乙、丙、丁4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同的报名方法种数是多少？

有同学是这么想的，要想完成这件事分成三步，第一步给足球队选人有4种选择，第二步给篮球队选人有3种选择，第三步乒乓球队有2种选择，所以一共是4×3×2=24种，你认为对吗？

我们检验一下他结论中的一个结果能不能完成任务，比如足球队选了甲，篮球队选了乙，乒乓球队选了丁，那他的一个结果就是甲、乙、丁各选了一个项目，丙没有项目，显然没有完成题目要求的任务.正确的一个结果应该是四个人都报了一个项目，所以完成这件事应该是以人为研究对象，分成四步，想象成填这样一个表格：

在应用计数原理解题时我们不要慌乱，把自己想象成解决问题的人，冷静分析任务，把你的解决方案抽象后对应于两个原理.分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步计数原理则要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.一般是先分类后分步，分类要设计好标准，设计分类方案，防止重复或遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性.