多角度剖析三角形中值的取舍问题

江苏省苏州市相城区陆慕高级中学 戈晨曦

三角形中的求值是高考考查的重点，而三角求值中多解的取舍问题又是三角函数中的难点。增解的产生，很多时候是由于我们对于条件挖掘不够，或者由于我们忽视了一些已有的结论，导致答案出现了增解现象。我们知道，三角函数值的确定一般需要通过角的范围来实现。尽管我们这里研究的是在三角形中的求值，已经对角有了一定的范围，但可能仍然不足以帮我们确定某些三角函数值的正负，这时我们就需要借助题目条件本身所蕴含的知识去判断、去取舍。在这里，我们就针对这种情况举例，剖析增解产生的原因以及如何能够舍去增解。

一、三角形中的两个角的三角函数值确定了三角形的固有形状

上面的分析对吗?如何确定结果的正负是摆在我们面前的一个问题，我们可以试着从以下方面来进行判断：

解法1：分类讨论，根据答案有效取舍

既然不能取舍正负，那么就分类讨论：

解法2：利用三角函数值缩小角度的范围

这种方法主要是根据现有的三角函数值和特殊角的三角函数值作比较，从而得出角的范围，再结合三角形的两个内角和小于180度，有效地舍去了另外一个解。在这里需要和大家强调的是，给定了一个角的三角函数值，如果是特殊值，当然可以确定角的具体值，如为三角形的内角，则易得如果给定的值不是特殊值，如为三角形的内角，这时我们虽然不能具体指出A的具体角度，但是角A是确定的一个或两个固定的值。所以在三角函数中，我们知道了三角函数的值，再加上这个角度的范围，某种程度上就认为知道这个角是已知角，只不过这个角不是特殊的罢了。

解法3：利用三角函数的图像

这种方法和上面的解法1有异曲同工之处，但是结合了三角函数图像的对称性，让人有更加直观的感觉。

解法4：利用三角形中的一些定理

此方法巧妙地利用了边和角之间的转化，把角的大小问题转化为边的长短问题，进而转化为两个角的正弦的大小问题，非常巧妙。

从上面的四种解法我们不难发现，问题1分析中的错误主要是由以下几个方面造成的：

（1）忽视了三角形中的一些角有度数的限制，从而忽视了三角形中的三角函数值也有了一定的限制。如三角形两角和不超过180°。

（2）对于一些三角函数值在一定范围内的正负不是非常明确。如正弦值在三角形内恒正。

（3）缺乏手段对三角函数值的大小和角的大小之间的等价转化。如

上面的解法对吗？我们可以从以下几方面给出判断：

解法1：利用三角函数的正负值来取舍

通过解题分析出来的。

解法3：利用三角函数的定义

解法3的精彩之处在于对于三角函数之间的不等关系挖掘得很到位。

解法4：利用齐次式

解法4的精彩之处在于对于三角函数的正负值和大小有非常精准的把握。

从上面的四种解法我们不难发现，问题2分析中的错误主要是由以下几个方面造成的：

（1）对于一些三角函数值在一定范围内的正负值不是非常明确。如：正弦值在三角形内恒正。

数学中的有些“隐藏”结论需要我们进一步去挖掘，这也是数学逻辑推理论证的魅力所在。