高中数学恒成立常见问题及求解策略

苏文慧

摘 要：在高中数学中，恒成立问题涵盖了多种数学知识，因此，要灵活运用不同方法进行求解。提出了几种高中数学恒成立常见问题，并列举了函数法、分离参数法、变化主元法以及构造法等方法进行恒成立问题的求解，以供借鉴。

关键词：恒成立；函数法；分离参数法；变化主元法；构造法

恒成立作为高中数学中常见的问题，其涵盖了函数、不等式、几何等多种数学知识，求解恒成立问题是对高中生数学知识掌握能力与灵活运用能力的系统考查。通过运用不同解题方法，可以有效将数学知识串联成体系，对培养高中生形成完备的数学思维有着极大的助益。

一、应用函数法解决恒成立问题

以下题为例，已知存在x∈R，使得不等式nx2+2x+3>0恒成立，求n的取值范围。针对此题进行求解，可引入二次函数知识，设二次函数f（x）=nx2+2x+3，并画出函数图象。通过图象可得知，当n=0时，不等式成立；当n>0时，可求得二次函数图象开口向上，选取x轴上方部分；当n<0时，同理也选取x轴上方部分。经过以上针对n的分情况讨论与计算，从而得出n的取值范围为（0，3）。

二、应用分离参数法解决恒成立问题

当解决带有参数的恒成立问题时，应用分离参数法将其中的参数提取出来，将不等式变形，可以使得原有的复杂恒成立问题得到简化与快速解答。以下题为例，存在x∈R满足不等式4m+sinx+m2≥0，且该不等式恒成立，求m的取值范围。在求解这道题时，我们可以发现其中包含了x和m两个变量，且m含有二次项，因此在处理此问题时可先将不等式变形，将不等号的一端转化为只含有m的方程，另一端只含有x，從而得到代数式m2-4m，然后将不等式另一端整体看做一个函数，求解出函数最值。接下来考虑关于m的代数式，可得出不等式m2-4m>5，最终求得m的取值范围。

三、应用变化主元法解决恒成立问题

四、应用构造法解决恒成立问题

（一）复数构造法

（二）几何构造法

总而言之，高中数学中恒成立常见问题可以通过多种策略进行求解，关键在于解题思路的深度拓展，综合运用既往掌握的数学知识，寻求最优方法进行问题解答，在掌握扎实基础知识的前提下学会灵活应变，从而提高数学能力。

参考文献：

[1]沈宏.高中数学中恒成立问题的解题策略[J].读与写（教育教学刊），2014，11（1）：103.

[2]王震.高中数学恒成立问题的解题策略探微[J].中学数学，2017（9）：78-80.