知识、方法、策略、思龌

刘新春

大家都知道每年的高考试题大多数是从课本例习题改编得到的，试题形式创新，但根在课本，解法依旧.很多同学对课本的重要性都高度重视，但到底如何回归课本却一片茫然，其实我们可以从课本的功能与内容寻找答案，

一、建构知识的整体结构

高中三年我们学习的数学知识源于课本、源于老师、源于课堂，即使到了高考前夕，部分同学的数学知识仍然凌乱无序，不成体系，“孤独零碎”地在头脑中漂浮，更谈不上形成整体结构.究其原因是我们没有把握课本中知识体系的呈现方式和整体结构.其实每个模块、章节的重点、难点、规律、结构、相似的知识往往都是按照相同的体系与结构编写的.

如立体几何研究空间线与面、面与面的位置关系总是从概念（定义）出发，探究判定方法（判定定理），寻找基本性质（性质定理），举例应用的顺序线路展开，并且每一个性质定理都是寻找低维平行（垂直）关系的判定方法.在本章结束复习时，给出全部知识的结构图，使大家既对微观的知识点逐一知晓，又对宏观的整体结构了然于胸.

再如解析几何中直线、圆、圆锥曲线内容总是从研究它们的定义出发，建立相应的标准方程，再从数与形两个角度研究曲线的基本性质，最后应用曲线方程和几何性质解决相关问题，

如果我们抓住了课本表达数学内容的呈现方式，并按照课本中表达数学知识的结构与联系复习，就能准确理解高中数学知识并建构知识的整体结构.

二、理解解题的基本方法

学好数学的重要标志之一是学会解题，高考考查的数学解题方法其实都在课本之中.由于我们对课本中的解题方法不甚了解，“刷题多多”，但总结反思甚少，因而事倍功半.

课本中重要的定理、公式、结论的证明方法，典型例习题的求解方法都是我们解决数学问题的“抓手”和“模板”，而课本中典型例题的解法步骤是我们规范解题，在高考中获得高分的“航标”.

如等差数列前“n和公式的逆序求和证明方法、等比数列前n项和公式的错位相减证明方法、函数、解析几何中运用定义求解问题的基本方法、利用导数求函数的最值的方法步

骤等等。

同学们在新课或第一轮复习时往往学得肤浅、理解不深，尽管做了大量题目，用了多次相似的方法，但由于不能总结反思，与课本提供的方法有机结合，导致平时大量练习用到的方法，像无根的“浮萍”，跟着感觉走，尤其是部分同学把数学知识与解题方法割裂开来，导致数学知识会背不会用.

如函数的单调性概念是一个重要的知识点，同时又提供了判断函数单调性的一种方法，既是对一个函数中两个变量大小对应关系的揭示，也是描述函数图象变化趋势的数量表达方式，是集数形于一身的概念与方法.

同学們只有熟练掌握了课本上的解题方法，才能灵活运用、举一反三.

三、掌握数学研究的策略

初学高中数学时，我们往往会囫囵吞枣学知识，就题论题做题目，满足于掌握具体的解题方法等等.其实，课本中对学习数学知识的策略、探究问题的策略、提升数学能力的策略都有相应的介绍.

苏教版必修5“解三角形”第1章1.1正弦定理，如何证明正弦定理，书本上给出了以下策略：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；

（2）建立直角坐标系，利用三角函数的定义；

（3）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题；

（4）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）.

上述四种途径其实也是我们解决一般三角问题的策略.

策略（1）将斜三角形问题转化为直角三角形中的问题求解.

策略（2）将三角问题运用三角函数定义求解，或建立坐标系，运用坐标法（解析法）借助解析几何知识方法求解.

策略（3）是将问题转化为平面几何问题，借助平面几何知识求解.

策略（4）是将三角问题转化为向量问题，运用向量工具求解，

这些策略离不开等价转化与数形结合思想指引，也是解决其他数学问题的基本策略，如果我们复习正弦定理、余弦定理时在证明两个定理的基础上能够关注证明正（余）弦定理的基本策略，则数学问题就能迎刃而解，并在理解上获得升华.

课本还十分重视知识的交叉联系和综合运用，采取交叉出现、螺旋式上升的策略提供解决问题的方法策略.如函数在数列、解析几何、不等式中的应用，向量在三角函数、解析几何中的应用等等，请看苏教版必修4第二章“平面向暈”P.87例3.

在平面解析几何直线与圆的方程一章中只研究两直线垂直，而没有涉及两直线的夹角，但用向量方法可以比较简单地解决.

以上问题由于使用课本顺序的变化，先学习向量后学习直线方程，导致在两个模块均未学习求直线夹角的方法.回归课本时就必须补上这一课.

四、领悟数学的基本思想

回归课本最难的是如何领悟课本中的数学思想，其实课本中始终有两条线贯穿始终，一条是知识主线，一条是思想方法线，两条线有时交叉，有时并行，共同建构主体数学.

对于函数与方程思想，高中课本中，从两个特殊集合之间的特殊对应关系构建函数定义，但在研究函数表示与性质时，又大量使用变量的变化规律加以阐释.已知自变量的变化规律研究函数值的变化要充分运用函数关系和性质.反之，已知函数值求自变量的值则是通过解方程获得.方程思想就是通过等量关系研究变量数值的变化关系，如函数的零点，是函数值为零时对应自变量的值，也是函数的图象与x轴的交点的横坐标，还可以视为两个函数的图象的交点.函数与方程思想贯穿于整个函数、三角函数之中.

等价转化与化归思想贯穿于所有课本内容之中，特别是定理、公式、典型例题的证明求解之中.如在苏教版必修4第3章三角恒等变换中，从证明两角差的余弦公式出发，导出和（差）角公式、倍角公式以及几组三角恒等式，并以它们为工具，研究了有关三角函数式的化简、计算、恒等式的证明等有关问题.在这一过程中，化归的数学思想被多次运用，既有从已知到未知的化归（如由余弦的差角公式，推出其余的和“差”角公式），也有一般到特殊的化归（如从和角公式推出倍角公式）.各个公式之间的等价转化使我们明了公式之间的相互联系，并在化归思想指导下理解掌握了推导公式的赋值法、特殊化法、逆向变形法等具体方法.

其他数学思想在课本中都有明确的表述.

只有从课本出发，我们才能走得更远！