以无限逼近的思想解释函数图像的本质问题

范永华

摘 要：本文通过一系类数学的哲学性的原理解释，运用点的连续与无限，运用数学思想实验来对图形进行无限分割，分割的任意多与任意小，以微观和宏观的角度解释了函数图像的本质问题。

关键词：连续；无限；数学思想实验；任意小；极限

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）22-073-1

一、为什么一次函数的图像会是一条直线

在苏科版教材八年级上册，首先我们先追寻教材的教学思路：

创设情境：观察下面的图片，你能得到哪些信息？

探究活动

1.列表，请将观察的结果填入下表：

2.设香长为y（cm），点燃时间为x（min），你能写出y与x的关系式吗？

3.描点：以x轴表示点燃时间，以y轴表示香的长度，建立直角坐标系，分别描出点（0，16），点（5，12），点（10，8），点（15，4），点（20，0）。

4.观察：描出的5个点在同一条直线上吗？

这里就有一个问题产生了，有一些爱思考的学生会追问：“老师，这五个点表面上看是在一条直线上。但是这样的结论未免太过于草率，因为有可能这些点或许在直线上面（不是镶嵌在直线上）一点点，或许在直线下一点点，也就是或许存在着误差，我们不能只是通过观察就得到结论，所描出的5个点在同一条直线上”。

二、为什么反比例函数与二次函数的图像要用平滑的曲线

在苏科版教材八年级下册，关于反比例函数的图像，书上的语言表述为，用平滑的曲线顺次连接第一象限内的各点，于是又有一些同学提出问题：第一为什么是平滑，第二为什么是曲线，反过来为什么不能用线段连接呢？

三、解答这两个问题

解答这两个问题的基础是，我们都是探讨函数的图像，那么我们问题的起源还是函数的概念与内涵。下面就四个层面加以分析：

1.连续与无限

首先，我们复习一下函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。期中变量x是自变量，变量y是因变量。

第二，我们寻找关键词，对于变量x的每一个值。也就是说函数的自变量与因变量都有一限定的范围，在这个范围内，或者在不同的取值区域内，自变量x取值都是连续，因为是连续，这里就涉及到另一个概念，无限。也就是变量x的取值是无限的，连续的。

第三，既然是连续的，无限的，这里这不仅仅是教材所引导的那样，对于一次函数、反比例函数，教材仅仅提供了几个有限的点。

第四，无论对于一次函数，还是反比例函数的图像，其本质都是无限个点组成。

2.任意多与任意小

第五，我们仍然还要回答，什么是无限。无限就是很多个点，多到可以任意得多，这个很多又是一个模糊的概念，就是多到你可以无限多的添加，举了例子，刘辉的割圆术，就是中国无限思想的典型代表。

第六，我们还要梳理一个问题，即使是无限多个点，多到点的密度极大极大，但是點与点还是有距离的，那怕这个两个点非常微小。这两个点还是有距离的。

第七，这两个点还是有距离，我们还是要回答：这两个点可以插入任意多个点，对于最接近的两个点，我们永远可以任意去添加任意多个点，可以无限的重复这个过程。

3.直线段连接

第八，就算是无限的重复这个过程任然存在点与点的距离，那么这两个点与点的距离，如果我们用线连接，使用线段呢，还是曲线段呢，我们就用线段连接。

4.微观之无限逼近与宏观的图像

第九，从微观的角度，我们是用线段，而非曲线段连接两个最靠近的点。这个线段可以小，可以小到任意的小。为什么可以小到任意的小，以为我们在两个最靠近的两个点可以多，可以任意多的添加点。于是我们自然而然就产生了我无限逼近的思想。无限逼近到对于两个点的距离几乎为零。几乎为零，还能小到负数吗？不可以，所以这个两个点的距离为零就是一个极限了。

第十，从宏观的角度，对于一次函数的图像就是一条直线，对于反比例函数与二次函数就是曲线，于是得到的图像是平滑的曲线。

这便是用无限逼近的思想解释关于函数图像的本质问题。