如何让数学概念“立体”起来？——基于“立方根（第1课时）”（人教版）教学的思考

☉重庆市璧山中学 王 伟

李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”然而，我们在概念教学时的现状是，教师不清楚如何开展数学概念探究.最近，南京竹山中学黄秀旺老师莅临我校指导教学工作，执教了“立方根（第1课时）”（人教版），并就概念教学与我们进行了广泛的交流，黄老师将“立方根”如履春风吹来，课堂波澜起伏，令人反思良久，回味无穷.笔者对该课概念探究途径进行了一些思考，以期对读者有所启迪.

一、教学实录

1.回顾与反思

问题1：请你回顾学习“6.1平方根”的过程，思考以下问题：

（1）平方根的学习是基于一个什么现实问题而提出的？它引出的数学问题又是什么？

（2）平方根的学习包含哪些内容？建议你画图表示，这样更为清晰、明了.学生探究之后画图（如图1）.

平方根的学习 新问题的学习

2.提出问题

问题2：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？如何列式？如何求出？

点评：老师并没有急于提出立方根概念，而是首先把时间花费在了追溯平方根的学习途径，在学生明确了平方根内容之后，话锋一转，提出立方根的实际问题，学生按照这样明晰的线路图类比开展研究，拉大了概念的思维长度.

3.探究定义

（1）挖掘背景

在学生完成列式和得出答案之后.

师：在问题背景中，由x3=27，可得x=3，那么离开这样的背景，你会得到什么答案？

生：刚刚提出的问题，实际上就是研究当x3=a时，a是多少，即求a的立方根.

师：什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？

……

师：为什么你要命名为立方根呢？

生：因为x3=a，顾名思义，x叫作a的立方根.

（2）符号表达

生：因为平方得到一个正数，这样的数有两个，且互为相反数，所以平方根表示为，而立方得到一个正数，这样的数有一个，所以立方根表示为

师：什么叫开立方？它与立方有何关系？

……

点评：从具体背景到数学，学生清晰地知道了立方根来自源于立方，并围绕立方根和平方根的联系和区别设计问题，拓展了立方根概念的宽度.

4.求一个数的立方根

例1 你能求下列各数的立方根吗？

在学生做完练习后，老师展示了两种不同的书写方式（以8为例）.

生1：2.

师：求出的依据是什么？从过程到结果的解答应该如何表述？

生2：由23=8，得8的立方根为

师：以上两位同学哪位做得更好？为什么？

……

5.探究性质

练习：（辨析题）课本第51页，习题6.2第1题.

活动：探究一个数的立方根与它的相反数的立方根之间的关系.

师：你发现了什么？能用一个式子表示其中的规律吗？

……

点评：从中可以看出执教者的理念：不盲目追求单纯的结果，而是暴露思维过程与展示结果并重.

6.概念运用

例2 求下列各式的值：

师：你能说出它们的意义吗？例1与例2的区别在哪里？

生：一个是用文字表述立方根，另一个是用数学符号表述立方根.

例3 求下列各式中的x：

（1）x3+3=2；（2）（x-1）3=8.

师：你能找到这些方程的原型在哪里吗？如何理解各式中x的意义？

……

点评：“求下列各式中的x”的语句表述，更贴近立方根的定义，使学生联想到“已知x3=a，求x=”的解题思路，自觉回归立方根的定义，前后呼应，并将立方根的价值提升到了一个新的高度，浑然一体.

回顾本课，执教者紧紧围绕立方根概念教学是学生解题达成度高的根本原因，那么，如何开展概念教学呢？

二、本课给我们的启迪

概念教学从什么角度开展探究，以真正发挥概念在解题中的作用？

1.在类比中联想——拉大概念的思维长度

对于任何一个数学概念，我们都能找到以前学习的影子，这便是新概念学习的基础，教师要做有心人，努力为学生搭建思维的平台，拉大概念的思维长度，增大学生的思维容量，进行全方位类比学习，有助于学生更清晰地学习，那么如何类比呢？

（1）类比学习内容

心理学家马尔慈说，人的意识就是一个“服务机制”——一个有目标的电脑系统.学生心目中追求的形象的清晰程度，就如同一个电脑程序的好坏，直接影响到这一系统运作的结果.由此可见，明确课堂学习任务，对学习者来说，可以提高主动参与的意识，而类比就是绝佳的思考途径.

例如，本课类比平方根学习的线路图，探究立方根就按照平方根问题、定义、符号表达、求一个数的立方根、性质和应用等主线，通过类比，学生就明白自己该做什么，怎么做，增强了学生学习的目标意识.

（2）类比研究方法

除了在内容上的类比，还可以在研究方法上类比，例如就研究背景而言，平方根的研究背景是正方形的面积，类比想到立方根的研究背景就是正方体，并在此基础上逐步开展类比探究，在潜移默化中有利于培养学生思维的正迁移.

在初中数学中，有很多这样的类比学习内容，例如，学习实数可类比有理数的研究途径，学习反比例函数和二次函数可类比一次函数的研究途径，学习一元一次不等式可类比一元一次方程的探究途径……这样的教学设计在初中数学教学中有很多.

2.在对比中发展——拓展概念的思维宽度

新概念学习一定与以前学习的内容有所不同，这需要在对比中找出不同，这样才能真正区分概念，从而拓宽概念的思维宽度.

在本课中，教师为了讲清“立方根概念”的内涵，尤其是对概念的三个追问甚是精妙，堪称神来之笔.追问1：在问题背景中，由x3=27，可得x=3，那么离开这样的背景，你会得到什么答案？这样的追问是从立方到开立方的对比，使学生对开立方的本质有了初步理解.追问2：为什么你要命名为立方根呢？这样的追问，实质上就是追问立方根的本源在哪里，为例1求下列各数的立方根奠定了坚实的基础.追问3：平方根表示为为什么立方根表示为为什么在前面不加上“±”呢？这一追问道出了平方根与立方根的区别，回归到平方与立方的区别上来，为以下的例题与概念联系做了很好的铺垫.

在类比中获得灵感，在对比中才有创新.同样，在一些新授章节中，需要我们找出以前学习中的踪影，进行对比学习.例如，学习平面直角坐标系时，提出：数轴上用数表示点有什么缺陷？学生就会想到数轴之外的点如何用数学表示位置，从而碰撞出思维的火花，从而意识到以前学习的不足，需要继续努力.提 出：对于数轴，我们研究了什么？提出平面直角坐标系的研究方法和途径，并比较其异同之处，这样学生在明晰的线路中就能砥砺前行，真正把学习的主动权交还给学生.

3.在应用中升华——提升概念的思维高度

数学概念是数学活动的基础，掌握概念的目的是为了应用.根据概念推导出一系列的定理、公式、性质、法则，是概念应用的一个重要方面，严密的推理论证过程就是对学生运用概念进行思维训练的过程.同时概念本身在解题中也有着广泛的应用，许多问题利用概念的定义来解往往显得格外巧妙简捷，可以训练学生思维的敏捷性，让学生感悟概念的价值，提升学生对概念的认识高度.

例如，本课中追问：（例1）求出的依据是什么？从过程到结果的解答应该如何表述？我们可以看到，传达给学生的思想是如何围绕立方根概念解答问题.追问：（例1）你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？则对新知识和旧知识进行对比，进一步凸显教学重点，突破难点，有效达成教学目标.追问：（例2）你能说出它们的意义吗？例1与例2的区别在哪里？则是对概念不同表达形式的理解，激发学生对立方根文字表述与数学符号的转化的理解.追问：（例3）你能找到这些方程的原型在哪里吗？如何理解各式中x的意义？则回归立方根概念，追本溯源，前后呼应，过渡自然，突出了概念的统领地位，真正实现解题能力的培养.

三、结束语

学生在学习新概念时，会出现两种情绪：一种是实现正迁移，觉得学习的知识可以解决未知的问题，表现出学习的主动性；另一种就负迁移，感到怎么学那么多知识，产生畏难情绪.为此，我们教师应在充分研究学生及教材的基础上，创设有效情境，在新概念的形成探究中，通过与旧知识的类比拉伸学生思维的长度，在不断追问对比中拓展学生思维念的宽度，在概念的应用中提升学生思维的高度，真正地让学生在概念学习中让思维“立体”起来，从而把培养学生的核心素养落到实处