深刻理解教学内容，践行“学材再建构”——从“分式方程增根问题”教学说起

☉江苏省海安市城南实验中学 陈爱军

最近一次教研活动中，笔者听了青年教师执教的一节“分式方程的增根与无解问题”习题课，对该课题的相关问题有了深入的思考.本文先概述该课的教学片段，再围绕分式方程的增根与“方程同解原理”给出一些阐释，供研讨.

一、“分式方程的增根与无解问题”习题课教学片段

教学片段1：复习旧知，引入新课.

学生解方程，一个学生上台板演.

解：方程两边同乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-3=（x-1）（x+2）. ②

解这个方程，得x=1.

检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0，所以原分式方程无解.

学生解好后核对答案，教师讲评前先在黑板上标注了方程①、方程②.

师：x=1是分式方程转化为整式方程的解，但它使最简公分母等于0，因此它不是原分式方程的解.像这样，我们称x=1是原方程的增根.请同学们自己总结什么是增根.

生1：它是整式方程的解，并且使最简公分母等于0.

师：回答得很好！再请同学们思考：为什么会产生增根呢？

众生静静思考，1分钟后，没有学生能回答，教师“自答”.

师：因为原方程①中未知数x的取值范围是x≠1且x≠-2，而去分母化为整式方程②时，方程两边同乘了一个等于零的整式，未知数x的取值范围扩大为全体实数.这样，方程②的解就有可能不是方程①的解.可见，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同.所以，解分式方程一定要检验.

学生求解，一个学生上台板演.

解：方程两边同乘（x+1）（x-1）.

整理得：（5-k）x=-1.

由原分式方程“可能有增根”，令最简公分母（x+1）·（x-1）=0，得x=±1.

将x=±1代入，解得k=4或k=6.

所以当原分式方程有增根x=1时，k=6；当原分式方程有增根x=-1时，k=4.

教师组织学生核对解答后继续给出一道变式题.

学生先练习，然后教师巡视过程中挑中一个学生上台板演.

解：方程两边同乘（x+1）（x-1）.

整理得：（5-k）x=-1 ①.

若原分式方程无解，可能是产生了增根，令最简公分母（x+1）（x-1）=0，得x=±1.

将x=±1代入①，解得k=4或k=6.

所以当k=4或k=6时，原方程无解.

针以上述漏解，教师进行订正，引导学生观察方程①，这个整式方程也可能出现无解的情况，即当k-5=0时，整式方程出现无解的情形，所以这道变式题的“无解”并不只对应着分式方程可能产生增根的情况.综上，原分式方程无解时，k=4、k=5或k=6.

二、分式方程为什么会产生增根

让我们先从方程求解的根据说起，解方程的过程无非是不断地用新方程替代旧方程直到新方程是一个或几个形如x=a的方程时为止的替代过程，在这个过程中，只有逐步替代的方程的解集总和被替代方程的解集完全相同时，才能保证最后一个或几个形如x=a的方程的解集与原方程的解集相同，才能既不产生增根，也不减少根的个数.

这里再链接“旧人教版”教材上关于同解方程、同解变形及原理的有关表述：我们把解集相同的方程叫同解方程，把方程变形为与它必同解的方程叫同解变形，把方程变形为未必与它同解（即有时同解，有时不同解）的方程的变形叫非同解变形.为了彻底弄清解方程时方程变形的理论，我们再列出有关同解变形的几个原理：

原理1：方程两边都加上（或都减去）同一个整式，所得方程与原方程是同解方程；

原理2：方程两边都乘（或都除以）同一个不为0的数，所得方程与原方程是同解方程；

原理3：方程两边都乘同一个含有未知数的整式，所得方程的解可能比原方程的解多，从而造成增根；

原理4：方程两边都除以同一个含未知数的整式，所得方程的解可能比原方程的解少，从而造成失根；

原理5：方程两边同时乘方相同的次数，所得方程的解可能比原方程的解多，从而造成增根.

可见，原理1、2是同解变形，原理3、5是可造成增根的非同解变形，而原理4则是可能造成失根的非同解变形.

查阅现行人教版七年级上册教材，关于方程解法的依据是以“等式性质”给出的，而等式的性质2表述为“等式两边同乘一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等”，这与“同解原理2”是不同的.

现在来看分式方程是怎样转化为整式方程的.如果我们能够将方程变形，使得去掉分母，就能使分式方程化为整式方程，用已知的整式方程的求解方法求解.为了完成这种变形，不可避免地要应用原理3，两边同乘分母的最小公倍式，与此同时，破坏了方程的同解性，验根则是不可避免的.接下来值得思考的就是，怎样验根才是最简便的？想清楚去分母这一步骤的潜在风险之后，就知道验根其实就是检验这一步骤是否满足同解原理，从而确认分式方程的验根只要代入最简公分母就可以了.

三、关于数学知识深刻理解的进一步思考

1.深刻理解教学内容，“知其然，知其所以然”

傅种孙先生说，教学需要追求让学生“知其然，知其所以然”.要实现这样的教学品质，前提是教师本人不断加深对教学内容的深刻理解，也就是旅美数学教育学者马立平博士所指出的，追求数学知识理解的深度、广度、贯通度.就上文提及的分式方程的增根问题，我们不但要让学生知道需要验根，还要让优秀学生理解为什么需要验根，这种验根并不是简单地检验计算有无粗心、错漏，而是对解法依据的完善与检查，是必不可少的步骤，也是数学科学、严谨的体现，上升到这样的高度来帮助学生理解，不只是训练了分式方程的增根问题的求解，更是对学科素养的熏陶.

2.研习不同版本教材，在对比优选中重组“学材”

专家教师李庾南老师近年来提出“学材再建构”，主张基于数学知识深理解的角度对教学内容重组后呈现，倡导开展单元教学，让学生先见森林、再见树木.在观摩研习李老师很多课例的过程中，我们发现李老师很多教学课例并不囿于某一种版本教材，而是融会贯通，对比不同教材并优选重组学材.笔者曾多次参与李庾南实验学校的教研活动，像上文分式方程增根问题的教学，李老师在自己的班级上教七年级学生一元一次方程时，就曾给她的学生补充过方程同解变形及相关原理，这样到了八年级再教学分式方程时，她班的学生就很自然地想到解分式方程的各步依据是否符合同解变形，当存在风险时，就会想到需要进一步验证、确认，这也就提示我们，在平时的备课活动中，手头不只是准备一种版本的教材，而要收集不同版本的教材，并时时研习、对比，以便在对比后优选形成更适合本班学情的“学材”.

3.专业研判增设课时，引导学生重视相关内容

一个教学现实是，目前数学课时是远远大于教材内容课时的，实际教学中会有相当多的习题课、复习课、试卷讲评课，这些课堂教学的研究远远没有得到应有关注.我们在一些随堂听课中更多的是看到就题讲题，比如，针对家庭作业选用的教辅资料的讲评订正，针对阶段检测、单元检测、期中检测、期末检测试卷的讲评.像上文中以分式方程的增根问题增设一节习题课的做法在日常教学中也是常态，教师并没有因为教材上没有相关内容就弱化对这些教学内容的要求.我们希望上文中分式方程增根问题的教学，不只是因为各级考试中对分式方程增根习题的“现实引领”，更重要的是教师能站在理解数学的高度，基于方程同解变形、原理的角度促进学生想清辨明、想深想活.