有序建构思维 渗透思想方法 追踪数学本原*——《课例：函数的零点》实录与反思

☉江苏省南通市天星湖中学 钱 鹏

☉江苏省丰县中学 曹 军

2017年10月在徐州市与南通市的教育对口交流活动中，笔者代表南通市经济技术开发区“徐新民名师工作室”在江苏省丰县中学借班上了一堂展示课，教学内容为苏教版《数学1》（必修）中的“函数的零点”，受到交流活动中老师们的一致赞赏.笔者在教学中根据函数零点的基本思想与方法，并结合学生的认知水平，通过培养学生数学学科核心素养而构建了有效课堂.展示课印发给师生的学习材料充分依据教材而进行“二次开发”，以一张“微专题教学活动单”呈现（篇幅有限，略）.后经过专家老师点评和自己反思，感触颇多.笔者认为：数学教学中学生思维需有序建构、贯穿思想方法渗透、才能追踪数学本原.

一、教学目标以及重点、难点

1.教学目标

（1）理解函数的零点、方程根、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间的联系；

（2）能够借助基本初等函数，尤其是二次函数的图像，探究出“零点定理”；

（3）能将方程求解问题转化为函数零点问题（函数图像交点问题），并会根据零点定理判断零点的大致区间；

（4）通过零点定理的探究，让学生体验特殊到一般、数形结合、函数与方程等数学思想方法.

2.教学重点

零点定理的探究，增强利用函数解决方程问题的意识.

3.教学难点

（1）零点定理探究过程中如何把直观的图形特征转化为具体的代数表达；

（2）对零点定理条件是充分不必要的理解.

二、教学过程实录

1.创设情景，课题引入

师：非常高兴来到江苏省丰县中学和同学们学习交流，这里不但校园优美、典雅，同学更是勤奋好学.看一个学校既要看校园环境，更要看学习氛围.苏轼曾在《题西林壁》中写到：横看成岭侧成峰，远近高低各不同.这就告诉我们看问题就是要从不同的角度进行思考，不同的角度就会得到不同的启迪，同样对一个数学式子y=2x-1，你是怎么看的呢？

生1：从函数的角度来理解，它是一次函数，它的图像是一条直线.

生2：从方程的角度来看，它是一个二元一次方程.

师：如果令y=0，这个式子又怎么看呢？

2.建构概念

师：（问题1）观察此表，求解表中一元二次方程的实数根，作出相应的二次函数图像简图，并写出函数图像与x轴交点的横坐标（先让学生思考，再由学生口述，用幻灯显示结果）.

方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0函数 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3函数图像（简图）方程的实数根函数的图像与x轴的交点

师：方程的根与函数图像与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

生：方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标.

师：（问题2）若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）及相应的二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（师生一起探究揭示关系）

判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0函数图像方程的实数根函数的图像与x轴的交点

点评：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备.

师：二次函数的图像与相应的一元二次方程的根有这样一种关系：二次函数的图像与x轴有交点，则其横坐标就是一元二次方程的根.那么对于其他的函数与相应的方程是否同样的结论呢？你能举例说明吗？

生1：一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴有交点且坐标是

生2：对数函数y=log2x的图像与x轴有交点且坐标是（1，0），相应的方程为log2x=0，它的根是x=1.

生3：指数函数y=ax的图像与x轴没有交点，相应的方程为ax=0，它无实根.

师：我们就可以推广到一般情形，函数图像与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的根.就是函数的零点，怎么样得到函数的零点呢？

生：是令y=0得到的.

师：那么对于一般的函数y=f（x），如何定义它的零点.

生：函数y=f（x）的零点就是使函数y=f（x）的值为零的实数x的值.

师：对于这个定义，我们仍然从两个角度刻画.从数的角度y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的根，从形的角度y=f（x）的零点就是函数的图像与x轴交点的横坐标.

（板书）等价关系：方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点.

点评：从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高.

师：零点是一个点吗？

生：零点指的是一个实数.

师：练习1.请大家观察图1，并回答这个函数有几个零点，零点是什么？

图1

生：函数有3个零点，零点是 -1，1，3.

师：同学们尝试一下求下列函数的零点.

（1）f（x）=x2-5x+6；（2）f（x）=2x-1.

（学生自主完成，教师巡回指导）师：总结一下求函数零点的步骤.

生：（1）令f（x）=0；（2）解方程f（x）=0；（3）写出零点.

师：给出图像，并总结求函数零点的方法：

生：（1）求对应方程的根；（2）画出图像，找函数图像与x轴的交点，交点的横坐标即为函数零点.

师：你能从数与形两个角度说说对函数的零点的理解吗？

图2

说明：教师在学生回答的基础上绘制图2，并指出：函数与方程相比，一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”.用函数观点研究方程，本质上是将局部问题放在整体中研究，将静态结果放在动态中考察.函数零点概念的核心就是“使函数y=f（x）的值为0的实数x”，这个核心需要学生能够自己探究出来才有价值.

3.零点存在定理探究

师：对于一些简单函数的零点，可以通过解方程或作函数图像求得，对于一个复杂函数如f（x）=lnx+2x-6，我们求不出零点，那么f（x）能不能判断它在区间（a，b）内存在零点呢？我们来看这样一个情景，如图3，两组图哪一组图表示小孩一定过河了？

图3

生：第①组.

师：第②组图，小孩一定没有过河吗？

生：不一定，可能过河，可能没有过河.

师：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两个点.请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图像与x轴一定会有交点？

生：A、B在x轴的两侧时.

师：依托直角坐标系，A点用（a，f（a））表示，B点用（b，f（b））表示，那么A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？

生：用f（a）·f（b）<0来表示.师：（1）观察二次函数f（x）=x2-2x-3的图像（如图4）.

第1问：在区间［-2，1］上有零点______；f（-2）=______，f（1）=______，f（-2）·f（1）______0（＜或＞）.

第2问：在区间［2，4］上有零点______；f（2）·f（4）______0（＜或＞）.

第3问：若把区间改为［2，4］，［-2，2］，［0，5］，［4，5］，［-2，4］，结果如何？

根据以上探索，你能得出什么结论？

（先让学生自主探究，再由学生口述，用幻灯片显示结果）

生：函数在区间端点处的函数值乘积小于0，则函数在该区间上有零点.

师：这个结论推广到一般情况下还成立吗？

（2）观察函数y=f（x）的图像（如图5）.

第1问：在区间［a，b］上______（有/无）零点；f（a）·f（b）______0（＜或＞）.

第2问：在区间［b，c］上______（有/无）零点；f（b）·f（c）______0（＜或＞）.

第3问：在区间［c，d］上______（有/无）零点；f（c）·（d）______0（＜或＞）.

师：在怎样的条件下，函数y=f（x）在区间［a，b］上存在零点？

生：我觉得有两个条件.一是函数图像是连续不断的；二是有两函数值符号相反，即f（a）·f（b）<0.

师：（用幻灯片显示）零点存在定理：如果函数y=f（x）在［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）<0，那么，函数y=f（x）在（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.这个c也就是方程f（x）=0的根.

图4

图5

点评：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图像，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系.总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析.

4.数学应用

师：下面请大家尝试用我们所得到的定理来解决一个问题.

例题（幻灯片显示）求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数.

你想到了什么方法来判断函数零点个数？

生1：用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表和图像，根据零点存在定理判断.

师：好，在定义域范围内用计算机作出x、f（x）的对应值表.

x…1 2 3 4…f（x）…-4-1.3061.098 63.386 3…

用几何画板画出f（x）的图像，然后呢？

生1：因为f（2）·f（3）<0，根据零点存在定理f（x）只有一个零点.

师：为什么f（x）只有一个零点呢？

生1：根据图像可知.

生2：因为f（x）在（0，+∞）上是单调增函数.

师：为什么f（x）在（0，+∞）上是单调增函数呢？

生2：因为当x增大时，f（x）的值也增大.

生3：因为函数y=lnx在（0，+∞）上是单调增函数，函数y=2x-6在（0，+∞）上也是单调增函数，所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数.

师：还有其他方法吗？

生4：作出函数y=lnx与y=-2x+6的图像，观察两函数图像交点的个数.

生5：作出函数y=lnx-6与y=-2x的图像，观察两函数图像交点的个数.

师：大家来看一看（利用几何画板作图），结果发现两个函数图像有交点，而且从图像上看只有一个交点，说明函数f（x）=lnx+2x-6有零点，而且只有一个零点.

（学生探索判断函数零点的方法，教师借助计算机或计算器来画函数的图像，结合图像对函数有一个零点形成直观的认识，师生共同完成）

师：小结一下求零点的方法.

生：（1）求对应方程的根.

（2）画出图像，找函数图像与x轴交点的横坐标，即为函数零点.

（3）转化为研究两个函数的图像的交点.

点评：这些问题都源于课本，适当扩展，无疑加大了数学思维的梯度和强度.

5.课堂感悟

师：总结一下，这节课你有哪些收获呢？

生1：本节课主要学习了函数零点的定义；函数零点存在性定理.

师：谁还有补充的？

生2：还学习了等价关系，函数y=f（x）的零点⇔函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标⇔方程f（x）=0实数根.

生3：函数的零点或相应方程的根的存在性，以及个数的判断.

师：还有哪些思想方法呢？

生：函数与方程的思想；化归与转化的思想；数形结合思想.

师：课后请同学们完成下面的作业.

（1）书面作业必做题：课本第88页第1题；第92页第2题.

（2）研究性作业选做题：你会用哪些方法研究方程ex-1+2x=3的实根或其所在的大致区间？

点评：让学生开展研究性学习，很有创意，为二分法求方程的近似解做好知识上和思想上的准备，很有意义.

三、课例反思

1.有序建构思维

学生的认知可分“已知区”“最近发展区”“未知区”三个层次，课堂教学就是在“已知区”和“最近发展区”上结合，真正让新知识从已有的知识经验中生长出来，产生知识的增长点，本节课通过学生熟悉的一次函数模型引出，从数与形的角度认识到函数与其他知识的联系，探究一元二次方程与相应二次函数图像和x轴的交点的横坐标之间的关系，给出函数的零点的定义，由特殊到一般，从直观到抽象，思维有序建构.虽然我们可以用判别式来判断一元二次方程根的存在，但对于没有判别式的其他方程就可以根据相应的函数图像来判断了.从而理解方程根存在的本质以及判断方程根存在的一般方法.这样探究函数零点存在定理成为思维的必然，并使学生对方程根存在的认识不仅仅停留在判别式或函数图像上.探究零点存在定理时，创设过河问题情景，不仅符合学生认知和能力水平，更使重难点有效突破显得自然有序.分析定理时提出：不满足定理的条件就一定不存在零点吗？学生疑惑，有生成性问题，这既是逻辑关系问题，又是对定理深刻的理解问题，顺势点拨，接下来改变定理的条件，学生自然会多个角度思考了，使得思维在有序构建中得以提升.

2.渗透思想方法

数形结合、化归转化、方程的思想贯穿本节课.通过问题、例题、练习渗透思想，体现方法，增强函数应用的意识.概括函数的图像特征，运用函数本身刻画，把“图像特征”转化为“代数表示”，在具体的例子中抽象概括出共同的本质的性质，得到一般性的结论.本节所涉及的求函数零点方法，不难归纳.一是“算”就是相应方程的根，这要求方程是普通方程或者特殊的超越方程，可算、能算.二是“画”就是画图像，一种画函数图像与x轴的交点，一种转化成两个函数图像的交点，交点的横坐标就是函数零点.三是“判”根据零点存在定理判断零点的存在区间，特别要注意函数的单调性.而求函数零点时所蕴含的函数与方程的思想，化归与转化的思想，数形结合的思想，让学生明白求函数零点时，什么题算？什么题画？什么题判？这既是知识的综合，也是方法的综合，更是能力的综合.

让数学课堂有序建构思维，渗透思想方法，追踪数学本原.实现真正意义上“数学是自然的”.W