找准“基点”，让探究真正发生——以“多边形的内角和”教学为例

安徽芜湖市教育科学研究所（241000）

安徽省芜湖市利民路小学汪宏执教的“多边形的内角和”一课，荣获了全国小学数学专业委员会第十三届课堂教学观摩评比一等奖。这节课就是凭借学生在课堂中“真思考”、“真探究”，赢得了全场教师、专家评委的赞誉。下面就对这节课进行深入剖析。

一、以“问题”为基点，激发探究的欲望

“问题”的设置直接影响学生思考的方向。以“问题”为牵引的教学，能顺利地激发学生的探究欲望。

“多边形的内角和”导入环节：

师（出示一组三角形（如图1））：这组三角形有什么不同点？又有什么相同点？

（学生畅所欲言）

图1

师（提炼学生感受）：每个三角形的内角大小不一样，但每个三角形的内角和都是180°，变中有不变，图形真奇妙。

师（出示一组四边形（如图2））：这组图中存在‘变中有不变’的现象吗？（直接揭示四边形各内角与内角和的关系）

图2

（学生几乎都能感受到：虽然这组四边形各内角不相等，但每个四边形的内角和都是一样的——360°）

师：这两组图形都存在“变中有不变”的现象，对此你有怎样大胆的猜测呢？

（学生自然会猜想“五边形、六边形等多边形的内角和是否是个定值，如果是定值，又是多少？”从而燃起探究的欲望）

汪老师设置的三个问题，以学生的认知为基础，环环相扣，学生在体会“变中有不变”数学思想的同时，产生了探究多边形内角和的强烈欲望。

二、以“尝试”为基点，体验探究的历程

《义务教育数学课程标准》（2011年版）有关“目标”的描述特别强调过程性行为动词“经历”“体验”“探索”，这三个行为动词，都是在探究活动中发生的，为的是让学生在活动中获得不同层次的认识。

“多边形的内角和”这一课中设计了让学生独立完成探究五边形内角和这一环节，这是建立在学生已经获得了探究三角形和四边形内角和经验之上的。学生已有的研究方法是测量、剪拼、分割，因此，他们在探究五边形内角和时能准确地选择分割法，而且呈现的方法是多样的。

学生研究的结果（如图3）：

图3

在课堂教学中，只有充分相信学生，给学生独立思考、独立尝试的时间和空间，教师不“越位”，学生才能“到位”，才能充分开动脑筋，充分经历探究的过程。

三、以“分类”为基点，寻求探究的目标

“分类”的数学思想就是把研究对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，从而解决问题，其实质是把问题分而治之，各个击破，综合归纳。因此，分类讨论是培养学生有条理地思考的良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。

“多边形的内角和”这一课设计了“分类”这一环节，即把研究五边形内角和的计算方法进行分类，标准不同分类结果也不同（如图4）：只有三角形一种图形的为一类，不仅仅含有三角形的为一类。

图4

学生喜欢这种分类的原因是研究后两个的五边形只用画一条辅助线，简单。

汪老师及时给出另一组图形（如图5)让学生讨论。

图5

学生在讨论中得出，之前所想的分类方法不是解决多边形内角和的一般方法，于是找到了探究的目标——找到解决多边形内角和通用的方法，自然回归到第一种方法：只有一种简单的基本图形——三角形这一类值得研究。“第一类的方法中也有多种情况，哪种情况才是一般方法呢？”汪老师话锋一转，引导学生观察图形的变化，自然过渡到下一个环节的教学。

这一环节的设计，让学生在经历分类探索活动的过程中，以分类为“基点”，体会“分类”的数学思想，明确探究目标：找出求多边形内角和的一般方法。

四、以“观察”为基点，化归探究的结果

观察是一种有目的、有计划、比较持久的知觉活动。培养学生的观察能力，旨在让学生通过观察，分析事物之间的关系，提高学生的分析、思考、概括、归纳能力。

“多边形的内角和”这一课设计了几何图形“动点”的移动这一环节（如图6）。

图6

随着“动点”的移动，“动点”的位置发生变化，图形也发生变化。

第一次移动，“动点”在五边形内任意移动（如图7）。汪老师问：“这时怎样求五边形的内角和？”学生观察后回答：“用5个三角形的内角和减去1个周角。”

图7

图8

图9

第二次移动，“动点”移至五边形的边上（如图8）。汪老师问：“你发现了什么？”学生回答：“动点移至边上，五边形的内角和是4个三角形的内角和减去1个平角。”汪老师接着问：“你还想把动点移到哪里？又发现了什么？”学生听了都跃跃欲试，都想把“动点”移至五边形的各顶点处（如图9），这样五边形的内角和就是3个三角形的内角和了。

通过移动“动点”，让学生在观察中思考，在思考中归纳，得出：“动点”位置越特殊，解决问题的方法越简单。学生在数形结合的思想下，欣赏着图形变化之美的同时顺利找出解决问题的一般方法。

五、以“推理”为基点，建立探究的模型

图10

“归纳推理”是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。

“多边形的内角和”这一课采用了不完全归纳法（如图10）。

在填写表格的过程中，学生找出了多边形的边数与含有三角形个数之间的关系，合情推理出多边形内角和的计算模型为（n-2)×180°。

推理思想、模型思想在当今信息化、数字化和大数据时代得到了进一步的重视。本课以“推理”为基点，探究多边形内角和的一般公式“（n-2)×180°”，从而建立数学模型。这一把现实情境数学结构化的过程就是一个从直观到抽象的过程。

六、以“联想”为基点，延续探究的激情

“联想”属于想象的一种，由一个事物想到另一个事物，联想依附于横向思维、纵向思维和发散性思维。

“多边形的内角和”的结课阶段，汪老师出示五边形（如图11）。

图11

王老师问：“你认为凹五边形的内角和与凸五边形的内角和一样吗？怎样探究？”再出示凹十二边形（如图12），“凹多形的内角和是否与凸多边形的内角和一样呢？”

图12

探究了凸多边形的内角和后，再出示凹多边形的两幅图，很容易使学生从凸多边形的内角和探究的过程和结果联想到凹多边形的内角和探究的过程和结果，甚至联想到凸多边形和凹多边形外角和的情况。学生通过知识的正向迁移，产生丰富的联想，延续了探究的激情，拓展了思维。

总之，在小学数学课堂教学中落实自主探索的学习方式，需要以学生的认知结构为基础，只有抓住学生的学习生长点，凸显数学本质，才能让学生真思考、真探究。