线性斜积半流指数渐近行为的平均定理

董夙慧， 岳 田， 吴媛媛， 吴文欢

（1.中国矿业大学信息与控制工程学院，江苏徐州221008； 2.江苏联合职业技术学院徐州财经分院，江苏徐州221011；3.湖北汽车工业学院理学院，湖北十堰442002； 4.湖北汽车工业学院经济管理学院，湖北十堰442002；5.湖北汽车工业学院电气与信息工程学院，湖北十堰442002）

众所周知，近年来关于单参数算子半群以及发展算子的指数稳定性理论研究方面取得了突破性的进展，大量长期公开问题的解决，使得相应理论不断获得丰富和完善［1-15］.值得一提的是 Datko［1］、Pazy［2］和 Rolewicz［3］对于指数稳定性理论研究的奠基性贡献.Datko［1］指出强连续算子半群｛T（t）｝t≥0一致指数稳定的充要条件为对任一 x∈X，有‖T（t）x‖2d x ＜ ∞ ，随后 Pazy［2］将其结论推广到了Lp（R+）（p≥1）的情形.1973年 Datko［1］推广了上述结论，指出具有一致指数增长的演化过程 U ＝ ｛U（t，s）｝t≥s≥0是一致指数稳定的充要条件为对任一 x∈X，存在 p≥1使 ‖U（t，s）x‖pd t＜ ∞ 成立，Rolewicz［3］于1986 年对此结果做了相应的改进.

在指数渐近行为理论研究方面，除了指数稳定性以外，近年来关于发展方程的指数不稳定性方面也获得了极大的关注［4-6，9-10］.如文献［4］利用容许性方法，文献［5-6］利用赋范函数空间的方法探讨了线性斜积半流的指数不稳定性的存在条件，文献［9］和［10］分别给出了Banach空间中线性斜演化半流的一致指数不稳定性和非一致指数不稳定性的若干刻画.

本文将在上述文献的基础上，通过平均定理来对Banach空间中线性斜积半流的指数渐近行为进行相应刻画.

1 预备知识

设X为一实或复Banach空间，（Θ，d）为一度量空间，将空间X上的范数及作用其上面的有界线性算子全体B（X）上的范数记作‖·‖，I为恒等算子.

定义 1.1［5］连续映射 σ：Θ × R+→Θ 称为 Θ上的半流，如果满足：

1）σ（θ，0）＝θ，∀θ∈Θ；

2）σ（θ，t+s）＝ σ（σ（θ，s），t），∀（θ，s，t）∈Θ×.

定义 1.2［5］π ＝ （Φ，σ）称为 X × Θ 上的线性斜积半流，如果σ为Θ上的半流，且Φ：Θ×R+→B（X）满足：

1）Φ（θ，0）＝I，∀θ∈Θ；

2）Φ（θ，t+s）＝ Φ（σ（θ，t），s）Φ（θ，t），∀（θ，s，t）∈Θ ×；

3）存在 M≥1和 ω ＞0使得‖Φ（θ，t）‖≤M eωt，∀（θ，t）∈Θ × R+；

4）对所有的（θ，x）∈Θ × X，Φ（θ，·）x：［0，∞）→X连续.

定义 1.3［8］线性斜积半流π ＝ （Φ，σ）称为一致指数稳定的如果存在常数 N，v＞0使得对∀（t，θ，x）∈R+× Θ ×X 有

注 1.1 若线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，则有

对∀（t，θ，x）∈R+×Θ ×X 和 p＞0成立.

定义 1.4［5］线性斜积半流π ＝ （Φ，σ）称为一致指数不稳定的如果存在常数N，v＞0使得对∀（t，θ，x）∈R+× Θ ×X 有

注 1.2 若Φ（θ，t）为单射，且线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，则

对∀（t，θ，x）∈R+×Θ ×X＼｛0｝和 p＞0 成立.

引理1.1 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的，当且仅当存在h＞0和c∈（0，1），使得对每个 θ∈Θ 和每个 x∈X，存在 τ：＝ τθ，x∈（0，h］满足

引理 1.2 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，当且仅当存在h＞0和c＞1，使得对每个 θ∈Θ 和每个 x∈X，存在 τ：＝ τθ，x∈（0，h］满足

2 主要结果

定理2.1 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的，当且仅当存在常数K，p＞0及函数φ：（0，∞）→［0，∞）满足φ（t）＝ ∞，使得对∀（θ，x）∈Θ ×X 有

证明 必要性 显然.令 φ（t）＝t（t＞0），并结合注1.1即可得结论成立.

充分性 利用反证法.如果π ＝（Φ，σ）不是一致指数不稳定的，根据引理1.1可得，对任意h＞0及 c∈（0，1）存在θ0∈Θ 和x0∈X 使得对所有 τ∈（0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＞c‖x0‖，那么

从而 φ（h）cp≤K 对任意 c∈（0，1）及 h ＞0 成立.但这与（t）＝∞矛盾，故π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的.

定理2.2 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的，当且仅当存在 p≥1及函数φ：（0，∞）→［0，∞）满足φ（t）＝ ∞，使得对每个（θ，x）∈Θ ×X 存在Kθ，x＞0 满足

证明 必要性 由定理3.1立得.

充分性由Hölder不等式可得

令 ξ（t）＝ （φ（t））1／p，t＞0，则（t）＝ ∞ 以及

进而对每个（θ，x）∈Θ ×X，存在δθ，x＞0 使得

其中χ［0，t］为特征函数，易知At，θ为有界线性算子.进而对∀t＞0，（θ，x）∈Θ ×X，

由一致有界原理，存在 D ＞0 使得‖At，θx‖L1≤D‖x‖对∀t＞0，（θ，x）∈Θ ×X 成立，因此

故借助定理2.1可得结论成立.

推论2.1 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的，当且仅当存在 p≥1使得对每个（θ，x）∈Θ × X 有

推论 2.2 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的，当且仅当存在常数p≥1及序列ηn：N+→R+满足ηn＝ ∞，使得对每个（θ，x）∈Θ×X有

进而，对每个（θ，x）∈Θ × X，存在Kθ，x＞0 使得（6）式成立，故π ＝（Φ，σ）是一致指数稳定的.

定理 2.3 若Φ（θ，t）为单射，则线性斜积半流π＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K，p＞0及函数φ：（0，∞）→［0，∞）满足φ（t）＝ ∞，使得对∀（θ，x）∈Θ ×X＼｛0｝有

证明 必要性 显然.令 φ（t）＝t（t＞0），并结合注1.2即可得结论成立.

充分性 利用反证法.如果π ＝（Φ，σ）不是一致指数不稳定的，根据引理1.2可得，对任意h＞0及 c＞1 存在θ0∈Θ 和x0∈X＼｛0｝使得对所有 τ∈（0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＜c‖x0‖，那么

推论 2.3 若Φ（θ，t）为单射，则线性斜积半流π＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数 K，p＞0 及序列ηn：N+→R+满足＝ ∞，使得对∀（θ，x）∈Θ ×X＼｛0｝有

证明 必要性 取ηn＝n，n∈N+.

充分性 利用引理1.2，采用反证法即可证明.

定理2.4 线性斜积半流π ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的，当且仅当存在常数K，p＞0及函数φ：（0，∞）→［0，∞）满足φ（t）＝0，使得对∀（θ，x）∈Θ ×X有

充分性 如果π ＝（Φ，σ）不是一致指数不稳定的，根据引理1.2可得，对任意h＞0及c＞1存在θ0∈ Θ 和 x0∈ X 使得对所有 τ∈ （0，h］，有‖Φ（θ0，τ）x0‖ ＜c‖x0‖，那么

结合（11）式可得φ（h）cp≥K对任意 c＞1及 h＞0成立.但这与（t）＝0矛盾，故π ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的.

推论2.4 线性斜积半流ρ＝（Φ，σ）是一致指数不稳定的当且仅当存在常数K，p＞0及序列ηn：N+→R+满足＝0，使得对∀（θ，x）∈Θ ×X有