中学数学幂函数教学的建模案例设计

贾晨 杨刘

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函数的概念和性质既是高中数学阶段学习的重要要求，也是学生学习和教师讲授的难点之一，将数学建模的思想融入这一部分教学，可有效提高教学效果.本文以幂函数为例，介绍了相关数学建模案例设计，有一定的教学意义.

【关键词】数学建模；幂函数；模型设计

一、引 言

函数的定义及其性质是高中数学教学内容的重要组成部分，同时也是后续学习的基础，因此，对高中阶段涉及的函数，深刻理解其定义及性质是十分重要的.但是，函数定义的抽象性给学生学习和教师讲授带来了很大的困难.因此，这一部分内容也成为高中数学学习和教学的难点之一.

数学建模將数学理论知识和实际应用紧密联系起来，是数学理论和实际应用之间的桥梁.将数学建模的思想融入函数概念与性质的教学，能够起到理论联系实际的作用，并能提高学生对这些抽象概念与性质的理解和掌握.

而在两者的结合上，案例的选取与构造，又是决定建模思想辅助函数教学效果好坏的关键.合适的案例，可以促进隐性知识与显性知识的不断转化，通过具体的情境，将隐性的知识外显，或将显性的知识内化，在加深学生对抽象概念理解的基础上，还可以进一步培养学生的应用能力，提高学生学习的积极性.已有文献中提出了一些用以加深学生对函数定义与性质理解的数学建模案例，但这些案例大多属于数学应用题范畴，如下文所述，这些应用题与数学建模有较大差别，因而，在上述辅助教学方面起到的作用较为有限.本文以幂函数为例，介绍相关的建模案例的设计.

二、数学建模与数学应用题

建立数学模型分析实际问题与解答数学应用题是有一定区别的.通常的应用题不是直接来自实际，而是经过一定程度的数学建模加工得到的成品或半成品，问题的提法也已经是数学化、理想化，具有条件清楚准确、结论唯一、结果符合实际等特点，甚至可以说是已经建立了完善的数学模型.显然数学建模与这一类应用题有密切的联系，又有较为明显的区别，主要体现在以下四个方面：

（1）问题给出的条件的充分程度；

（2）问题解决过程中是否需要一定的合理假设；

（3）结果是否需要在实际中反复检验并根据检验结果对过程进行相应的修改和完善；

（4）问题解决的表达方式.

数学模型是对于现实世界的特定对象，为了特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的数学结构.数学建模是从实际问题出发建立数学模型，通过数学方法对模型进行分析求解，并解释和验证所得的解，进而为解决现实问题提供数据支持和理论指导的过程.可以说，数学建模教学是学生在教师指导下，发挥主体性进行的、充满个人思维构造色彩的创造性活动，具有个人体验、自主活动的鲜明特点，这些是数学应用题所缺乏的.因此，构造合适的数学建模案例辅助课程内容教学，相比较与解答相关的应用题有着更为重要的意义.

三、基于数学建模思想的函数教学案例设计

日常生活中，我们有一些基本的常识，比如在商店购买商品时，买大包装比小包装更划算，这是由商品的出厂价格决定的.例如，某厂家生产牙膏出售，其中60 g装的牙膏出厂价为每支1.15元，150 g装的牙膏出厂价为每支2.5元.现该厂家根据客户需要生产180 g装的牙膏，请你确定该牙膏的出厂价格.

（一）符号约定

上述幂函数的单调性可更清楚地说明大包装商品价格更低的现象.

（四）模型分析与改进的教学延展

（1）实际中牙膏的出厂价格除了生产牙膏的成本及包装成本之外，还应包含外包装盒等成本，但与文中考虑的两项相比影响较小，对结果的影响不大；

（2）模型中假设牙膏体积与表面积的函数关系是一种相对规则形状的对应关系，它们之间更准确的关系应在进一步调查测量的基础之上改进.

在上述案例中，教师引导学生分析实际问题，提取其中的数学信息，根据不同牙膏质量所对应的各项成本建立幂函数关系，进而建立数学模型并进行分析与求解.在这一过程中，学生既感受了数学建模的全过程（问题分析、简化假设、模型建立、模型求解、模型分析与进一步改进等），也加深了对幂函数的概念、性质与应用的理解和掌握，体现了数学建模辅助教学的效果.

四、总 结

数学建模思想融入高中函数教学，既可以有效提高函数理论的学习效果，也可以激发学生的学习兴趣、培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，因此，对开展相关问题的理论研究与实践研究都具有十分重要的意义.

【参考文献】

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]杨启帆.数学建模案例[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]张立红，代钦.高中函数模型及其应用的教学策略[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）：116-118.

[4]冯爱美.数学建模思想融入函数教学的实践研究[D].西安：陕西师范大学，2015.

[5]赵树峰.数学建模教育的素质培养内涵与文化特征[D].长春：吉林大学，2008.