在“做”中学椭圆

康茂淮

【摘要】 知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。使学生在“做”数学中学数学，学中思，亲身体会创造过程，让学生的思维、语言、肢体经历一次次“磨炼”，并在不同程度上有新的提高。因此它使思维一直处于运动和探索之中，能促使思维的发展。在教学活动中，教师应创设条件，充分利用各种资源，给学生“做”数学的机会，让学生在“做”中加深对数学知识的理解，领悟数学思想，积累数学活动经验，不断提升学习能力。

【关键词】 “做”数学 椭圆 设计意图 反思

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）07-100-01

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著名心理学家皮亚杰说过：“智慧的鲜花是开放在手指尖上的”。高中数学教学中也应适当的给予学生“做”数学的机会。本文结合圆锥曲线中椭圆的教学，让学生三次画椭圆，使学生掌握椭圆的定义、椭圆的几何性质、椭圆的综合运用等数学知识并深刻感悟知识的形成过程，从而逐步在头脑中建构起数学模型。

一、绳子画椭圆——椭圆定义明晰

在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。现把这一教学片段中让学生“做”的问题展示如下：

问题1：利用手中的绳和钉画出一个圆，并归纳圆的定义。（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）

问题2：把一根绳的两端分别系在两个图钉上，并分开固定图钉，绳长大于图钉间距离，保持拉紧状态移动铅笔，画一画得到什么样的曲线？

问题3：绳长等于图钉间的距离，画出何曲线？

问题4：为何不同同学画出的椭圆，扁平程度不一样。绳长不变，改变图钉间的距离，观察椭圆的扁平程度如何？绳长改变，图钉间的距离不变，观察椭圆的扁平程度如何？请画图实验。

问题5：根据实验总结椭圆扁平程度与绳长和图顶间距离的关系。

问题6：根据画图，总结椭圆的定义。

设计意图：

（1）采用感性导入法用课件展示图片的，由点及面，由感性到理性，符合学生认识的思维路线，易激起兴趣和学习动机。

（2）创设问题情境在学生的“最近发展区”中设计问题，所设计的问题面向全体，使学生的思维一直处于亢奋状态，使每一位学生都积极参与思维活动，体现以学生为主体的新理念。

（3）培养动手能力培养动手实践能力是现行教育中的一个弱点，在新课标中特别指出研究性学习的重要性，而培养动手实践能力是研究性学习中的所要培养的能力之一。通过画椭圆检验，线段定长、两定点时椭圆的圆扁程度。

（4）培养探索能力教育家布鲁纳说过：“探索是数学教学的生命线。”探索是创造的起步，学生的创造力不可能一蹴而就，只有引导他们学会探索，才能使学生的创造力得到有效的培养。

设计反思：

将传统教学媒体与现代教学媒体有机结合在一起，促进了学生学习的积极性和主动性，即将工具画图和课件展示有机结合。

二、方程画椭圆——椭圆几何性质明晰

通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能，培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，提高学生的思维层次，掌握获取知识的方法和途径，真正体现学生学习知识过程中的主体地位。在已推导了椭圆的标准方程后，让学生如何利用标准方程探究椭圆的几何性质。现把这一教学片段中让学生“做”的问题展示如下：

问题1：方程16x2+25y2=400表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：

情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；

情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；

情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；

情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；

辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，体现同学的思维差异，培养学生的思维习惯。

问题2：通过画图你得到了该椭圆的哪些几何性质？

设计意图：

（1）问题设置来源于课本例题，选题目的有利于学生从多个角度进行思考和探索，培养学生的发散思维，第一问的解决旧体现了对二元二次方程的研究，为利用方程研究性质打下基础；

（2）课堂教学体现学生自主探究知识的过程，问题的设置体现了研究问题角度的转变——用方程研究曲线性质的问题，同时使学生意识到椭圆的几何特征：范围、对称性、关键点；

（3）实物投影展示学生的研究过程和研究成果，重在发现学生的思维差异和思维认识层次；

（4）辨析过程中重视学生的思维起点，通过彼此交流，發现问题，共同探讨，得到统一的认识。

问题3：椭圆标准方程■+■=1（a>b>0）有什么特点？它有什么几何性质？并用椭圆方程研究或验证其几何性质。

问题4：在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？

问题5：学了椭圆的几何性质，如何快速画出16x2+25y2=400的草图？

设计意图：

（1）抓住椭圆标准方程的特点不放松，引导学生探究如何利用方程研究椭圆的几何性质；

（2）在学生的表述过程中重视学生的思维方式，培养学生正确处理问题的思路，能够引导学生从对称性的本质上得到研究对称性的方法；

（3）多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。

（4）与开头相呼应，使学生认识到椭圆的简单几何性质能够简化做图过程。

设计反思：

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好地体现“利用方程研究曲线性质”的本质。