直线与椭圆及双曲线位置关系的简易判断法

云南省大理州宾川四中 (邮编：671600)

1 问题的提出

众所周知，直线l与圆⊙C的位置关系最简单的判断方法是：用圆心C到直线l的距离d与半径R的关系得出，即当且仅当

(1)d>R时，直线l与圆⊙C相离;

(2)d=R时，直线l与圆⊙C相切;

(3)d

由于椭圆与双曲线都有对称中心，是有心曲线，这点与圆一样，所以，我们自然希望也能用椭圆及双曲线的中心到直线l的距离d来判断直线与椭圆及双曲线位置关系，经过探索我们得到一个简便的判断方法.

2 结论的形成及证明

2.1 本文中有关的符号说明

我们把椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长记为a,椭圆的短半轴长及双曲线的虚半轴长记为b，椭圆与双曲线的半焦距记为c，直线l与椭圆或双曲线焦点所在直线的的夹角记为θ(00≤θ≤900),直线l的倾斜角记为α(00≤α<1800),曲线中心到直线l的距离为d.

注不难得到焦点在x轴上总有cos2θ=cos2α, 焦点在y轴上总有cos2θ=sin2α.

2.2 直线与椭圆位置关系的判断

定理1设f(θ)=a2-c2cos2θ，则当且仅当

(1)d2>f(θ)时，直线l与椭圆相离；

(2)d2=f(θ)时，直线l与椭圆相切；

(3)d2

①

②

计算得方程②的判别式△=4a2b2(b2+a2k2-m2)

③

④

综上，定理1成立.

2.3 直线与双曲线位置关系的判断

(1)d2>f(θ)时，直线l与双曲线相交；

(2)d2=f(θ)时，直线l与双曲线相切；

(3)d2

⑤

⑥

计算得方程⑥的判别式

△=4a2b2(m2+b2-a2k2)

⑦

⑧

综上，定理2成立.

3 结论的运用

例1已知椭圆E的两个焦点F1(-3,0),F2(3,0),且椭圆E与直线l:x-y+9=0有公共点，求椭圆E长轴最短时的方程.

计算得

解由题意知,

计算得

4 记忆方法

如果把f(θ)=a2-c2cos2θ看成R2,那么，直线与椭圆的位置关系的判断方法几乎与直线与圆的判断方法一样，对于双曲线而言，由于中心在曲线外，除相切外，相离与相交的结论与椭圆相反.