引导学生用“数学的方式”学数学——基于章建跃先生对《角》一课的教材分析

天津师范大学教师教育学院 (邮编：300387)

章建跃先生是人民教育出版社的资深编审，在数学教育领域享有极高的威望.在天津师范大学承办的2017年“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目班上，章先生以“核心素养统领下的数学教学变革”为题，以《角》内容的教学为例，对数学教学应以数学方式进行了深入解析，深受学员欢迎.

这节课选自人教版七年级数学上册，教材将《角》一课分为角的初步认识、角的比较与运算、余角和补角三部分内容来呈现.通过章先生对教材章节的分析发现，“教材编写组对这部分内容的衔接是进行了精心设计，具有严谨的内在逻辑性，体现‘数学的方式’学习的一般模式.但教师在实际教学中尚未完全理解教材的编写意图，没有帮助学生建立起数学的方式学习体系.”在学与教的过程中需要重视教材，理解教材的思维逻辑展开.因为数学是思维的科学，具有最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向，有一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式[1].引导学生用数学的方式学习数学，不仅有利于学生学好数学，更有利于涵养学生的理性思维，实现数学育人.

目前，学者关于“数学的方式”学习数学的研究初有成果，然而这些大多是从数学思想，数学课例等角度进行的研究，鲜有基于教材的深入挖掘，分析如何用“数学的方式”进行数学育人的研究.在教学实践当中，教师也多在研究数学知识“是什么” “如何做”，而对“为什么”“怎么想”讲的不够[2].教师如果能深度挖掘教材，理解教材的思维逻辑展开方式，会更有效地帮助学生理解知识的内涵，认识数学结构.基于以上问题，引导学生用“数学的方式”学习数学首先需要对教材进行全方位、多角度、逐层深化的剖析.数学的方式是一个全过程，主要经历“明确研究对象——确定研究内容(性质)——构建知识体系”这三大步骤，辅之严格的推理和运算，最终达到学生对研究对象的立体化认识.结合章建跃先生的《角》这一节教材的分析，按照上述三个步骤进行解析说明，对如何有效引导学生用数学的方式学习进行初步探索.

1 明确研究对象，从背景中抽象出具体概念

一般而言，研究几何图形的第一步就是要明确研究对象是什么，这也是将研究对象“数学化”的关键步骤.若想让学生真正掌握数学知识，就需要学生亲历从“事实”中剥离出研究对象的过程.一些教师在教学中容易混淆研究对象与研究内容二者的区别，课堂上常常以“今天来学习XX的性质”等做为课堂起始点，忽视引导学生挖掘研究对象的过程.章先生指出研究对象即研究知识点本身的定义、概念、形状、数学语言等，而研究内容一般指研究对象的性质和判定.学生学习时当且仅当明晰二者的区别才能真正做到掌握知识.

数学的研究对象通常从生活背景中抽象得到的，一个明确的研究对象，其概念应该是清晰、可辨别、可利用的.例如角概念的获得，教材在本节开始的段首语：“角也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象.”教材首先为学生带入一个个生活场景让学生进行观察，其目的就是让学生完成由“生活的现实”到“数学的现实”的转换.之后学生通过观察、讨论后，归纳总结得到角的概念：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.当学生学习角的表示时，教材通过“能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎么表示呢？”三连问的形式帮助学生理解角的表示方法，强化学生对角概念的理解.数学具有高度的抽象性，学生在发现的过程中，不仅由此获得数学的研究对象，而且锻炼了抽象思维能力，进而达到从量或形的视角去发现并把握现实情景.

由上可知，定义一个几何对象，首先需要观察与分析，能从典型、丰富的具体事例中找共同特征；然后归纳与概括研究对象的本质属性，包括其概念内涵、要素等；其次表示研究对象，通常要掌握其图形表示、符号表示以及语言表示等；最后对研究对象进行分类.对于分类问题，章先生强调在教与学的过程中师生都需要思考两个问题：“为什么要分类”以及“如何进行分类”.分类是为了明确研究的逻辑顺序，例如学习有理数的分类时，通常按照正数、0、负数进行分类，这也确定了学生首先探究正数的相关性质，之后再正向迁移学习负数的性质及运算.对于如何进行分类，采用的方法多种多样，有时分类也是证明的一种特殊思路，例如对于角的分类，小学时学生已掌握锐角、直角、钝角的区分方法，教材以此为基点，要求学生通过画图，体验绕着一个端点形成的角的类别，使学生逐步感知锐角、直角、钝角、平角、周角的联系与区别.

2 剖析研究内容，厘清内涵与性质

任何学科的学习，就其实质而言，一般都存在着一种思维方式的建构，而研究对象的性质就是构建的支架.有了概念之基石，就能以其性质为支架搭建研究内容之廓.在几何学的研究领域当中，大小和位置关系是研究的主要性质，其中大小关系是研究几何内容中最基本的性质.

为更好地研究几何图形的大小关系，其不可忽视的一点就是要学会几何的度量.章先生将认识几何度量的过程分为五个阶段(如图1).几何度量之所以成为研究几何问题的必要工具，其核心在于度量的单位，而度量单位的个数就是量的大小.在所有度量的过程当中，隐藏着这四个假设：运动不变性、叠合性、有限可加(减)性、不可公度性.在假设条件成立的前提下，研究几何度量的问题实际上是将研究对象“数量化”的过程，从定性研究到定量研究，逐步将研究对象化为一个“量”，进而达到用一个数来表述几何量，或者建立一个公式来求几何量的数值的目的.对于角而言，讲解度量的原因显然是由于角和面积、体积一样也是有单位，是可以测量的，且在之后的几何图形的学习中，图形的位置、大小、形状都需要依靠角度确定.

图1 几何度量认知过程

结合《角》一节教材中“度量”、“角的性质”的学习，分析把握研究对象的内涵和性质的学习规律.在这一部分，主要解决“角的大小关系”即如何衡量的问题，通过数学文化的渗入让学生感知角度与长度单位的换算单位和进位制的不同，之后通过图形比较让学生通过回顾“线段的大小关系”并以此类比，学生通过度量法、叠合法的实际操作之后直观感知角的大小.教材同样通过从定性区分再到定量比较，逐步引出角的特殊关系——相等，并引申出角的平分线、三等分线的构造问题.教材中有关特殊图形的处理，通常会涉及到两个重要问题：性质和判定.对于角的性质与判定主要涉及角平分线的性质与判定、余角和补角的性质与判定.教材在这一环节的探究中，也注重培养学生从定性观察到定量测量的学习方法.学生历经几何图形性质研究的一般通法，逐渐形成从定性到定量的研究范式，潜移默化地提升学生的理性思维.

3 构建模型，对知识体系恰当地进行迁移

通过研究《角》内容的学习过程，分析迁移相似知识点的学习模式，探究“数学方式”的体系构建.章先生指出数学中类似问题的研究方式具有一定的继承性特点，而迁移是继承的手段.在几何内容的学习中，教师根据从“角”的学习模式来看“三角形”的学习过程.不难发现，《三角形》一节中不同知识点的研究结构几乎完全一样，又如三角形的研究逻辑还可以正向迁移到圆、四边形、多边形等，教材的呈现机构如图2所示，体现了数学研究上的继承性和同构性特点.启迪教师充分利用数学中的继承性特点教学，在数学知识学习过程中“瞻前顾后”，同构迁移，适当变通，提炼出教材中蕴含的系统性思维方式，切实做到既见树木也见森林.从更一般的角度来看，上述推广充满着理性精神[3]，数学概念的延伸与拓展中体现出数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和逻辑的连贯性.

图2 几何图形研究结构

用数学的方式学习数学不仅落脚在学习新知的过程中，在数学应用当中数学式的逻辑思维也应发挥其不可比拟的育人特性.研究的数学问题不同，研究思路和研究方法会有差异.但是相似问题的研究策略具有相通性和同构性，如角的概念展开思路和其在应用中思路线条的展开如出一辙.

在“角”知识的应用部分，教材以货轮海上航行的应用题为例，让学生动手绘制角的相关图象并根据题意求解做答，既考察学生对余角补角关系的知识掌握情况，又考查学生的动手能力.深究题意，在解题过程实际上就是“数学方式”学习的实例，学生从现实情景中抽象得到数学问题，确定研究对象和研究内容后，首先定性地感知航行路线，然后定量计算相应角度和距离，从而构建数学模型，解答问题.数学式思维模式有较强的逻辑顺序，且操作性强，这就使得学生在解题过程中“有路可循”.

4 小结

数学课堂需要高效教学，但不得不承认课堂学习的内容只是冰山一角.用“数学的方式”学数学实际上是传授给学生“研究一个数学对象的基本套路”，在教材的引导下，让学生自主学习数学的思维模式，数学的学习归根到底是学生自己的事情，教师的主要责任是激发学生的学习欲望，促使学生独立思考、自助学习.课堂上引导学生通过对现实问题的数学抽象化获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径.其中数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学推理、论证证明结论(定理、性质等)的过程，提升学生推理、运算等素养.通过这种“数学方式”的学习，学生的思维得到了很好的训练和发展，从而也就真正达到了数学育人的目的.