谈等差数列的主要性质及其常考题型

摘要：等差数列的内容内涵丰富，其中，等差数列的性质是高考的热点内容，重点考查学生对等差数列性质的灵活运用。活用性质，不仅可以获得较好的解题思路与方法，而且有利于简化运算，快速解题，加深对等差数列的认识。本文笔者结合自己的教学实践谈点思考。

关键词：等差数列；解题方法；解题技巧

一、 等差数列性质的应用

例1（1）已知{an}为等差数列，a3+a4+a5+a6+a7=450。求a2+a8的值。

（2） 设数列{an}，{bn}都是等差数列。若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=。

（1） 解：∵a3+a4+a5+a6+a7=450，

由等差数列的性质知：a3+a7=a4+a6=2a5。

∴5a5=450。∴a5=90。

∴a2+a8=2a5=180。

（2） 解析：设数列{an}，{bn}的公差分別为d1，d2，因为a3+b3=（a1+2d1）+（b1+2d2）=（a1+b1）+2（d1+d2）=7+2（d1+d2）=21，所以d1+d2=7，所以a5+b5=（a3+b3）+2（d1+d2）=21+2×7=35。

【类题通法】

1. 利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示。

2. 本题的求解主要用到了等差数列的以下性质：

若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立。例如，a15≠a7+a8，但a6+a9=a7+a8；a1+a21≠a22，但a1+a21=2a11。

【对点训练】

1. 已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=。

解析：因为a15=a1+14d，a60=a1+59d，

所以a1+14d=8，

a1+59d=20，解得

a1=6415，

d=415。

故a75=a1+74d=6415+74×415=24。

答案：24

二、 灵活设元求解等差数列

例2三个数成等差数列，其和为12，前两项之积为后一项的12倍，求这三个数。

解：设这三个数依次为a-d，a，a+d，

则（a-d）+a+（a+d）=12

（a-d）·a=12（a+d）解得a=4d=-2

∴这三个数为6，4，2。

【类题通法】

常见设元技巧

（1） 某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a-d，a+d，公差为2d；

（2） 三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a-d，a，a+d，公差为d；

（3） 四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d。

【对点训练】

2. 已知四个数成等差数列，四个数之和为16，第二个数与第三个数之积为15，求这个等差数列。

解：设这四个数依次为a-3d，a-d，a+d，a+3d。由题设知：

（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=16

（a+d）·（a-d）=15

解得a=4d=1或a=4d=-1

∴这个数列为1，3，5，7或7，5，3，1。

三、 等差数列的实际应用

例3某公司经销一种电子产品，第1年获利400万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少40万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？

解：由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an-an-1=-40（n≥2，n∈N*），每年获利构成等差数列{an}，且首项a1=400，公差d=-40，

所以an=a1+（n-1）d=400+（n-1）×（-40）

=-40n+440。

若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，

由an=-40n+440<0，解得n>11，

即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损。

【类题通法】

1. 在现实问题中，若题目涉及一组与顺序有关的数的问题，则可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成递增或递减趋势，则可考虑利用等差数列方法解决。

2. 在利用数列方法解决现实生活中的问题时，一定要弄清首项、项数等基本关键量。

作者简介：

邢春柳，江苏省南京市，南京市宁海中学。