高中数学中解析几何综合题的解题思路分析

赖永力

【摘 要】高中数学中的解析几何综合题将几何的知识作为载体，还综合了数列、函数、三角、不等式各方面的知识，涉及到非常多的知识点。本文结合了一些高中数学解析几何相关的例题，对其进行分析、讨论和总结，得出相关解题思路，希望可以在一定程度上起到有助于提高高中生解题效率和准确率的作用。

【关键词】高中数学；解析几何；解题思路；分析

高中数学中的解析几何综合题对解题能力的要求比一般题目高很多。程度一般的同学遇到这种题型大多不知道该从哪里突破，或者在解题过程中半途而废。造成这种现象的原因有：题目运算量很大；对解题技巧认知不足；日常习题训练不够。根据日常的解题经验来看，攻克此类题型的关键在于：保持思维的整体性，从局部入手。也就是在掌握了众多题目通性的同时，不能在解题过程中不加分析，只生搬硬套一般的解题方法，而是应该从整体上来审视和把握题目，在局部上寻找突破口，从而正确解答题目[1]。需要着重注意的是：解题的方法套路要有，但是也一定要学会灵活的使用。

解析几何将坐标法作为基础，利用代数的方法来研究和解决几何问题。其中深刻地体现出了各种与数学相关的方法与思想，因此在解决此类问题时要结合多个基本定义与公式，运用多种手段，才能迅速、准确地完成。此外，还需要掌握一些其他的技巧。比如“数形結合”、“整体代入”、“设而不求”、“结合向量”、适时运用平面几何知识等。

一、判别式

例1 现有双曲线C： - =1，直线l经过点P（√2，0），其斜率为k。当k∈（0，1）时，该双曲线上支有且仅有一个点O与l之间的距离为√2，求k的值以及点O的坐标。

[分析]

（1）“数形结合”是研究解析几何综合题所需要的非常重要的一个手段。首先画出草图，从题目中的“有且仅有”这几个关键字眼不难得出：过点O作一条平行于l的直线，这条直线一定和双曲线相切，相切在数学中的代数表现也就是方程中Δ=0。因此可以设计出以下的解题思路：

l：y=k（x-√2），k∈（0，1）

l′：y= +k- ；

→解得k的值。

（2）如果换一个思考的角度，从代数推理来切入题目，应该把题目中的“距离”用代数式来表达。也就是“有且仅有一个点O与l之间的距离为√2”说明了方程只有唯一解。由此设计出了以下的解题思路：

由题意得出，关于x 的方程有唯一解；

→转化成一元二次方程的求根问题；

→最终求得k的值以及点O的坐标。

上述的解题思路在扣准解题目标的同时，连续地转换问题，体现出了思维的整体性与全局观念，十分有利于降低解析几何综合题的考察难度，提高答题准确率。

二、判别式、韦达定理二者联用

例2 现有椭圆C： + = 8，点P（4，1），过点P作一条斜率为k的直线，与椭圆相交于M、N两点。在线段MN上取一点Q，使得 =- 。求点Q运动轨迹所在的曲线的方程。

[分析] 多动点是轨迹问题的困难所在，在很大程度上提高了综合题的难度。这类问题可以使用参数法来求解，首先选定参数，然后用参数来表示点Q的坐标，最后再将参数消除[2]。

因为点Q的坐标变化是直线AB引起的，所以可以顺势将MN的斜率k作为参数。利用以下两方面把点Q（x，y）和斜率k联系起来：一是点Q位于直线MN上；二是题目中的条件“ =- ”。又因为P、Q、M、N四点共线，所以可以得出 x= ，只需要将直线MN的方程代入到椭圆的方程中，就可以利用韦达定理建立起x和k的关系。

通过以上的分析，可以看出我们对于如何解答题目，心中已经有了解题思路。

=- ；

→ x= ；

→把直线MN的方程代入到椭圆的方程中，利用韦达定理建立起x和k的关系；→x=f（k）；

→点Q在直线MN上，则消除参数k；

→最终得出点Q的轨迹方程。

“消除参数”指的就是，使得到的关于x和y的方程中不含有斜率k，因此由y=k（x-4）+1可以得出k的关系式，再将k的关系式直接代入方程x=f（k）中，就可以简化“消除参数”的复杂过程，得到最终的轨迹方程[3]。从解题思路我们可以学习到，通过列方程组进行消元，从而得出一个一元二次方程。在此过程中，最难又最重要的是如何引出参数、应用参数和消除参数，这也是解答解析几何综合题的一个快速有效的方法。

三、求根公式

例3 直线l过点O（0，3），与椭圆C： + =1 相交于P、Q两点，求 的取值范围。

[分析] 本题目要求同学从整体上来把握题意，实际上要求取值范围有以下两个方法：一是利用相应的思想建立所求的变量关于某个参数的方程式；二是建立与所求变量相关的不等式。

（1）从第一个方法入手，在等式 = 中有两个变量 、 ，而且其范围都不好控制，所以我们需要将斜率k作为第三个变量。这样一来问题就变成了如何用斜率k来表示 、 。把直线方程代入到椭圆方程中，消去y，得到一元二次方程，其求根公式就很容易得出来了[4]。

把y=kx+3代入到椭圆方程中，消去y，得到一元二次方程；

→由求根公式可得 =f（k）， =g（k）；

→由 = 可得所求变量的与k相关的函数关系式；

→由Δ≥0求得k的取值范围；

→最终求得所求变量的取值范围。

（2）因为判别式是产生不等关系的根源，所以由Δ≥0可以快速得出k的取值范围，这样一来问题就转变成如何把k和所求量联系起来。但是在本题中没有办法直接利用韦达定理，所以我们需要建立关于 、 的对称关系式[4]。

把y=kx+3代入到椭圆方程中，消去y，得到一元二次方程；

→由韦达定理可得 + =f（k）， =g（k）；

→由 = 可以建立所求变量和k之间的关系式；

→由Δ≥0求得k的取值范围；

→建立所求变量的不等式；

→最终求得所求变量的取值范围。

在求变量范围的问题中，建立不等关系的方法有很多，比如：利用判别式，利用均值不等式、数形结合、利用函数的性质等。本题也可以利用数形结合的方法来解答，在此就不再赘述。

四、结语

解题是一个非常理性、有序的过程，不可以一开始就忙着答题，攻克局部问题说明不了什么，而且还很有可能被局部的问题所困扰，从而乱了阵脚，看不到问题的关键所在。只有注重题目的整体性，时刻从全局来考虑，有条有理地解答问题，才能保证在解决解析几何综合题的过程中不出差错，完美攻克。

参考文献：

[1]顾勤琴，高中数学解析几何大题常见的解题思路[J]，高中教育，2018.

[2]叶李君，浅谈解析几何综合题的一些解题技巧[J]，2012.

[3]安振平，梁丽平，解析几何综合题解题思路案例分析[J]，高三数学专题，2018.

[4]吴玉常，解析几何综合题解题思路案例分析[J]，解析几何解答题专讲，2018.

（作者单位：湖南师范大学附属中学）