高中数学几何解题技巧中的“数”“形”结合方法探讨

曾菁

【摘 要】几何知识是高中学生必须掌握的数学知识之一，对此，需要我们运用一些解题技巧，在提升解题效率之余，加深对几何知识的理解。本文以“数”“形”结合的方法为切入点，阐述了在几何解题中运用“数”“形”结合方法的一些内容，以期能对学习几何知识有所助益。

【关键词】高中数学；几何；解题技巧；“数”“形”结合方法

几何知识是高中数学课程的重要组成部分，需要我们予以重视，并采用一些有效的辅助方法增进对具体内容的理解，一种较为有用的方法便是“数”“形”结合方法。对此，我们不妨从该方法的基本原理着手，逐渐将其融入几何知识的学习之中。

一、理论概述

（一）解析几何概述

解析几何的研究重点在几何对象的性质与关系，运用的是代数方法，所以也可以称其为“坐标几何”。解析几何在理论上有两种分类，一是平面解析几何，二是立体解析几何。其中，平面解析几何以运用直角坐标系为主，在点和实数之间、方程和曲线之间建立起了一种联系，几何方法与代数方法互相配合，解答几何问题与代数问题。在17世纪之后[1]，随着天文、军事以及力学等学科的发展，不论是初等几何，还是初等代数都有了较大的发展，两者的发展，让解析几何的建立有了实现的可能性，原本独立的数学分支，实现了结合，通过统一形与数，使得数学历程有了迅速的发展。

（二）数形结合概述

数学学科中最基本、最古老的研究对象便是“数”与“形”了，若给这两个研究对象赋予一定的条件，那么两者可以达到一种转化，所以两者间的这种联系又被称作“數形结合”。数形结合在数学学科中的应用，一般而言有两种类型，第一种类型是以数解形，也即运用“数”所具有的精确性特征阐述“形”的属性，例如边长和角度等图形，这些图形直接观察没有规律，若是赋予一定的数值，则能体会到其中的差异；第二种类型是以形助数，也即运用“形”所具有的直观性特征阐述“数”与“数”之间的关系。通常来讲，运用数形结合能够解决如下数学问题：几何问题、三角函数、线性规划以及数列问题等。

二、“数”“形”结合方法在几何解题中的运用

（一）解题思路

在遇到解析几何问题时，首要任务应当是将题目中所给出的“数”与“形”的条件一一对应起来，明确题目中都有哪些位置关系以及数量关系，才能在最短的时间内找到该项题目的突破点，运用数形结合方法达到举一反三之效果。对此，有以下关系需要厘清：第一，以几何元素作为知识背景的概念需要予以明确，例如三角函数以及复数等；第二，题目中出现的方程式的几何意义；第三，三对对应关系，即函数与图像、曲线与方程、实数与点[2]。

（二）实际应用

“数”“形”结合方法可以通过以下角度，运用在几何解题之中：第一，解决圆类问题。圆类问题的求解，一般围绕圆的标准方程、圆与圆以及圆与直线两者之间的位置关系展开，通常使用直角坐标系，我们可以直观的观察到两者到底是何种关系，但是学到这种程度还不够，还需要写出求解的步骤，而这一步骤的书写就需要用到“数”“形”结合方法，也即以数解形，具体来讲，是通过求解圆心与直线间的距离长短，以该距离作为判断的依据，距离大于圆的半径则说明直线在圆外面，距离小于圆的半径则说明直线与圆相交，距离等于圆的半径则说明直线与圆相切；第二，解决不等式问题。“数”“形”结合方法还可以用来解决不等式的问题，解题思路是：先行化解题目中给出的不等式，一般来讲，该不等式可以被化解为曲线方程，然后再建立坐标系，将曲线方程绘制在数轴上，逐一计算定义域以及值域，最后通过观察坐标系之中图形的交集，便可以得出不等式的解集。

三、运用“数”“形”结合方法解答几何问题的类型

（一）以“数”化“形”

以“数”化“形”实则运用的是图形分析法，也即基于“数”具有抽象性特征，而“形”具有直观性特征的优势，可以找出“数”与“形”之间的联系，绘制图形，通过分析图形，解决“数”的问题。一般来讲，在运用该方法之前，要先分析这道题目的结构，包括这道题目的已知条件和求解目标，然后比较已知条件与求解目标，找寻两者之间的联系。基本的解题思路是：明确题目中都给出了哪些条件以及需要求解哪些问题，然后以这些内容为基础，观察可以在解答过程中应用哪些学过的公式或是定理，再构造能够解答本题的图形，最后根据绘制出的图形的几何意义和性质，联系求解目标完成解题任务。

（二）以“形”变“数”

虽然“形”有“数”所不具备的特点，但是有时在定量方面，“形”也还需借助代数运算，尤其是对于一些复杂的“形”，既要数字化，还要观察其特点，将其中所具有的隐含条件挖掘出来，难度较大。因此该类题目的解答思路是：先行确定已知条件与求解目标，并分析两者的性质以及特点，理解两者在该图形中所具有的几何意义，再用已经掌握的知识，将题中图形以代数式的形式表达出来，运用相关公式正确求解。

（三）“形”“数”互变

数形结合的另一种形式便是“形”“数”互变。对于几何题目来讲，虽然原理不多，但是形式却千变万化，仅仅依赖于前两种形式，不足以完全涵盖几何题目的类型，所以还有一种数形结合的类型需要掌握，也即“形”“数”互变，“形”的直观与“数”的严密要随时根据题目所给的条件灵活应变，随时转化，最佳的学习状态便是达到见“数”想“形”以及看“形”思“数”[3]，才能真正做到将复杂问题简单化，满足实际解题的需求，提高解题的效率与准确度，促进数学水平的提升。

四、结束语

综上所述，在高中数学几何解题中应用“数”“形”结合的方法，并不仅仅是知识的叠加，更是一种知识的灵活应用与迁移，需要学生先行掌握教材中的基本几何知识，再对基础知识之后的原理进行挖掘，才能在此基础上做到数学方法的综合运用，让“数”“形”结合的方法发挥其应有的辅助作用，帮助学生理解几何知识，提升数学水平。

参考文献：

[1]郭红梅. 数形结合在高中数学中的应用原则研究[A]. 《教师教育能力建设研究》科研成果汇编（第八卷）[C].中国管理科学研究院教育科学研究所，2018：5.

[2]葛玉锋.数形结合在高中数学解题中的应用[J].高中数学教与学，2018（14）：45-48.

[3]邓雅文.运用数形结合巧解高中数学解析几何问题[J].科学技术创新，2018（03）：55-56.

（作者单位：湖南师范大学附属中学）