三角函数最值问题浅谈

范登林

【摘要】：函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，随着教育的深化，三角函数最值问题成为高考命题的热点.

【关键词】：三角函数 高考数学 最值 方法探究

研究三角函数的最值问题，其方法与求三角函数值域的方法类似。先通过三角恒等变换，使目标函数变量归一，函数名称归一，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。在实际操作过程中，要注意换元法的应用并注意函数定义域的限制。

求解三角函数最值问题的基本思想：

1、认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。

2、根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤，具体可考虑：①将函数式化成或形式，再利用正弦函数的有界性求出最值；②通过换元，将函数解析式化成二次函数、二次方程进行求解，需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；③转化为可利用不等式性质，均值不等式来求解的问题；④转化为可利用函数的单调性来求解的问题；⑤改变主元，视函数为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；⑥化归为可利用几何解释来解决的问题。

3、通常可考慮降次，积化和差与和差化积、引入辅助角、万能代换、换元、配方而对函数式进行变形或转化。

注：以上所列举的方法仅是从一般求解方法上来说的，可能并不适用于所有题目。有些题目比较特殊，无法用以上方法来解，而有些题目用以上很多方法都能解决，这时我们要具体情况具体分析，就要注意选择简单恰当的方法来解决。